Calcule o valor da soma

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S = 50cdot51 + 51cdot52 + cdots + 100cdot101
Isso é uma soma do tipo sumk=50^100k(k+1). Para resolver, vamos usar as fórmulas de soma de inteiros e de soma de quadrados:
sumk=1^nk = n(n+1)2, sumk=1^nk^2 = n(n+1)(2n+1)6

Passo 2

Escrevemos
S = sumk=50^100 k(k+1) = sumk=50^100 k^2 ;+;sumk=50^100 k

Passo 3

Calcular sumk=50^100 k. Usamos
sumk=50^100 k = sumk=1^100 k ;-;sumk=1^49 k = 100cdot1012 - 49cdot502 = 5050 - 1225 = 3825

Passo 4

Calcular sumk=50^100 k^2. Usamos
sumk=50^100 k^2 = sumk=1^100 k^2 ;-;sumk=1^49 k^2 = 100cdot101cdot2016 - 49cdot50cdot996 = 338350 - 40425 = 297925

Passo 5

Agora somamos os dois resultados:
S = sumk=50^100 k^2 ;+;sumk=50^100 k = 297925 + 3825 = 301750

Resposta

301750

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