Prove, a partir da Fórmula de Euler, a Fórmula de Lagrange (17361813)
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade de Lagrange
usando a Fórmula de Euler (Teorema do Binômio). Vamos aplicar a expansão binomial e comparar coeficientes de potências de
.
Passo 2
Pela Fórmula de Euler temos
Substituindo
por
vem
Multiplicando essas duas séries:
O termo de
só ocorre quando
, portanto seu coeficiente é
Passo 3
Por outro lado,
Aplicando novamente a expansão binomial:
logo
Aqui o coeficiente de
ocorre quando
, ou seja
, e vale
Passo 4
Como ambas as abordagens calculam o mesmo coeficiente de
, concluímos
que é exatamente a Fórmula de Lagrange.