Prove, a partir da Fórmula de Euler, a Fórmula de Lagrange (17361813)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de Lagrange
sumk=0^nbinomnk^2=binom2nn
usando a Fórmula de Euler (Teorema do Binômio). Vamos aplicar a expansão binomial e comparar coeficientes de potências de x.

Passo 2

Pela Fórmula de Euler temos
(1+x)^n=sumk=0^nbinomnk,x^k
Substituindo x por 1/x vem
l(1+tfrac1xr)^n=sumj=0^nbinomnj,x^-,j
Multiplicando essas duas séries:
(1+x)^nl(1+tfrac1xr)^n =sumk=0^nsumj=0^nbinomnkbinomnj,x^,k-j
O termo de x^0 só ocorre quando k=j, portanto seu coeficiente é
sumk=0^nbinomnk^2

Passo 3

Por outro lado,
(1+x)^nl(1+tfrac1xr)^n =(1+x)^2n,x^-n
Aplicando novamente a expansão binomial:
(1+x)^2n=summ=0^2nbinom2nm,x^m,
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(1+x)^2n,x^-n =summ=0^2nbinom2nm,x^,m-n
Aqui o coeficiente de x^0 ocorre quando m-n=0, ou seja m=n, e vale
binom2nn

Passo 4

Como ambas as abordagens calculam o mesmo coeficiente de x^0, concluímos
sumk=0^nbinomnk^2 =binom2nn,
que é exatamente a Fórmula de Lagrange.

Resposta

sumk=0^nbinomnk^2=binom2nn

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