Prove que todo polinômio de grau pode ser escrito na forma

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, fixado um inteiro p>=0, todo polinômio
P(x)
de grau ,p pode ser escrito de forma única como
P(x)=A0+A1,x+A2,x(x+1)+cdots+Ap,x(x+1)cdots(x+p-1)
O conteúdo utilizado será o espaço de polinômios de grau <= p, a noção de base (família linearmente independente e geradora) e um argumento por indução no grau.

Passo 2

Definimos, para cada
Note que em é . Essas formam uma família triangular em relação à base usual , logo são linearmente independentes e, por terem exatamente elementos no espaço de dimensão , também formam uma base.

Passo 3

Fazemos prova por indução em p.
– Caso p=0: então P(x) é constante, digamos P(x)=A0. E isso coincide com
P(x)=A0,varphi0(x),
pois varphi0(x)=1.
– Passo indutivo: suponha o resultado válido para todo grau <= p-1. Seja P(x) de grau ,p. Seja a o coeficiente de x^p em P(x). Como varphip(x) também tem coeficiente líder 1, podemos escrever
Q(x)=P(x)-a,varphip(x),
e então deg Q<= p-1. Pela hipótese de indução existe única sequência A0,A1,dots,Ap-1 tal que
Q(x)=A0,varphi0(x)+A1,varphi1(x)+cdots+Ap-1,varphip-1(x)
Basta então tomar Ap=a para obter
P(x)=Q(x)+a,varphip(x) =sumk=0^pAk,varphik(x),
com Ap=a, o que fecha a indução.

Resposta

Juntando tudo, ficou demonstrado que existem e são únicos os escalares
A0,A1,dots,Ap
tais que
P(x)=A0+A1,x+A2,x(x+1)+cdots+Ap,x(x+1)cdots(x+p-1)

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