Prove que todo polinômio
de grau
pode ser escrito na forma
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, fixado um inteiro
, todo polinômio
de grau
pode ser escrito de forma única como
O conteúdo utilizado será o espaço de polinômios de grau
, a noção de base (família linearmente independente e geradora) e um argumento por indução no grau.
Passo 2
Definimos, para cada
Note que em
é
. Essas
formam uma família triangular em relação à base usual
, logo são linearmente independentes e, por terem exatamente
elementos no espaço de dimensão
, também formam uma base.
Passo 3
Fazemos prova por indução em
.
– Caso
: então
é constante, digamos
. E isso coincide com
pois
.
– Passo indutivo: suponha o resultado válido para todo grau
. Seja
de grau
. Seja
o coeficiente de
em
. Como
também tem coeficiente líder
, podemos escrever
e então
. Pela hipótese de indução existe única sequência
tal que
Basta então tomar
para obter
com
, o que fecha a indução.
Resposta
Juntando tudo, ficou demonstrado que existem e são únicos os escalares
tais que