Calcule o valor da soma
Passo 1
O enunciado quer achar
Esse é um resultado clássico que diz que essa soma é o quadrado da soma de
até
. Vamos provar isso usando indução.
Passo 2
Lembrando que
conjecturamos que
Passo 3
Prova por indução em
:
Base (
):
logo vale para
.
Hipótese: suponha que para algum
tenhamos
Passo indutivo: então
Fatorando
obtemos
que é a forma desejada para
. Assim, a fórmula vale para todo
.