Calcule o valor da soma

Passo 1

O enunciado quer achar
S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + cdots + n^3
Esse é um resultado clássico que diz que essa soma é o quadrado da soma de 1 até n. Vamos provar isso usando indução.

Passo 2

Lembrando que
sumk=1^n k = n(n+1)2,
conjecturamos que
sumk=1^n k^3 = (n(n+1)2)^2

Passo 3

Prova por indução em n:
Base ( n=1):
1^3 = 1 e (1cdot22)^2 = 1,
logo vale para n=1.
Hipótese: suponha que para algum n tenhamos
sumk=1^n k^3 = (n(n+1)2)^2
Passo indutivo: então
sumk=1^n+1 k^3 = sumk=1^n k^3 + (n+1)^3 = (n(n+1)2)^2 + (n+1)^3
Fatorando (n+1)^2 obtemos
(n+1)^2l(tfracn^24 + (n+1)r) = (n+1)^2(n+2)^24 = ((n+1)(n+2)2)^2,
que é a forma desejada para n+1. Assim, a fórmula vale para todo ninN.

Resposta

S = sumk=1^n k^3 = (n(n+1)2)^2

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