Calcule o valor de

Passo 1

O enunciado pede para calcular
S=sumk=1^nk(2k+1)
O conteúdo é soma de polinômios em k. Para resolver, vamos usar as fórmulas conhecidas de
sumk=1^nk e sumk=1^nk^2.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral:
k(2k+1)=2k^2+k
Logo,
S=sumk=1^n(2k^2+k) =2sumk=1^nk^2+sumk=1^nk

Passo 3

Aplicamos as fórmulas padrão:
sumk=1^nk=n(n+1)2, sumk=1^nk^2=n(n+1)(2n+1)6

Passo 4

Substituindo em S:
S =2cdotn(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2 =n(n+1)(2n+1)3+n(n+1)2
Para somar as frações, usamos denominador comum 6:
n(n+1)(2n+1)3=2n(n+1)(2n+1)6, n(n+1)2=3n(n+1)6

Passo 5

Juntando os numeradores e fatorando n(n+1):
S =2n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)6 =n(n+1)l(2(2n+1)+3r)6 =n(n+1)(4n+5)6

Resposta

S=n(n+1)(4n+5)6

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