Em certa rodovia, a intensidade média do fluxo de tráfego é de 30 carros por minuto. Um medidor é colocado na rua para registrar o número de carros passando por cima. Suponha válidas as três hipóteses do processo de Poisson, adaptadas para a contagem de carros em vez de telefonemas, e calcule:
A probabilidade de que dois ou mais carros sejam registrados durante determinado intervalo de dois segundos.

Passo 1

O enunciado recai sobre um processo de Poisson que modela o número de carros que passam num trecho da rodovia. A taxa média é de 30 carros por minuto, e queremos a probabilidade de ocorrerem dois ou mais carros num intervalo de 2 segundos.

Passo 2

Primeiro convertemos a taxa para segundos.
A taxa por segundo é
lambda = 30 carros60 s = 0,5 carros/s
Num intervalo de t=2 segundos, a média esperada é
mu = lambda,t = 0,5 times 2 = 1

Passo 3

Num processo de Poisson com parâmetro mu, a probabilidade de exatamente k eventos é
P(X=k)=e^-mu,mu^kk!
Queremos
P(X>=2)=1 - l[P(X=0)+P(X=1)r]

Passo 4

Calculamos
P(X=0)=e^-mu, P(X=1)=e^-mumu1!,
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P(X>=2)=1 - e^-mul(1+mur)

Passo 5

Substituindo mu=1, temos
P(X>=2)=1 - e^-1l(1+1r) =1 - 2e^-1approx 1 - 2cdot0,3679 = 0,2642

Resposta

A probabilidade de registrar dois ou mais carros em 2 segundos é
P(X>=2)=1 - 2e^-1approx0,2642

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