Numa classe existem 8 alunas das quais uma se chama Maria e 7 alunos, sendo José o nome de um deles. Formam-se comissões constituídas de 5 alunas e 4 alunos. Quantas são as comissões das quais:
(a) Maria participa?
(b) Maria participa sem José?
(c) José participa?
(d) José participa sem Maria?
(e) Maria e José participam simultaneamente?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos 8 alunas (entre elas Maria) e 7 alunos (entre eles José). Formamos comissões com 5 alunas e 4 alunos. O conteúdo é contagem por combinação simples, usando coeficientes binomiais \binom{n}{k}.

Passo 2

Vamos usar a ideia de “fixar” ou “excluir” certo integrante e depois escolher o restante livremente. Lembrete rápido:
\binom{8}{5} é o número de maneiras de escolher 5 alunas dentre 8, e \binom{7}{4} o número de maneiras de escolher 4 alunos dentre 7.

Passo 3

(a) Maria participa: fixamos Maria numa das 5 vagas de aluna, então faltam 4 vagas entre as outras 7 alunas, e escolhemos livremente os 4 alunos entre 7.
\binom{7}{4}\;\binom{7}{4} =35\cdot35=1225.

Passo 4

(b) Maria participa sem José: fixamos Maria, escolhemos 4 alunas entre as outras 7, e excluímos José deixando 6 alunos para preencher as 4 vagas.
\binom{7}{4}\;\binom{6}{4} =35\cdot15=525.

Passo 5

(c) José participa: fixamos José numa das 4 vagas de aluno, escolhemos os outros 3 alunos entre os 6 restantes, e as 5 alunas entre as 8.
\binom{8}{5}\;\binom{6}{3} =56\cdot20=1120.

Passo 6

(d) José participa sem Maria: fixamos José e excluímos Maria, então escolhemos 5 alunas entre as 7 restantes e 3 alunos entre os 6 restantes ao José.
\binom{7}{5}\;\binom{6}{3} =21\cdot20=420.

Passo 7

(e) Maria e José participam simultaneamente: fixamos Maria e José, depois escolhemos 4 alunas entre as outras 7 e 3 alunos entre os outros 6.
\binom{7}{4}\;\binom{6}{3} =35\cdot20=700.

Resposta

(a) 1225
(b) 525
(c) 1120
(d) 420
(e) 700

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