Claudio acaba de comprar um apartamento e sabe que, mesmo antes de ocupá-lo, terá que arcar com algumas despesas iniciais. Com base em um levantamento feito ao longo do último mês:
  • a documentação deve custar em média 3 mil u.m. com um desvio padrão de mil u.m.;
  • a pintura do apartamento deve custar em média 2 mil u.m. com um desvio padrão de 800u.m.;
  • o laqueamento (calafetação) do assoalho deve custar em média mil u.m. com um desvio padrão de 300u.m.;
  • os móveis novos devem custar em média 4.500u.m. com um desvio padrão de 1.500u.m.;
  • o transporte da mudança deve custar em média 800u.m. com um desvio padrão de 100 u.m.
No momento, Claudio dispõe de um total de 10 mil u.m. para custear essas despesas. Admitindo que todas as despesas previstas são v.a.'s com distribuição Normal:
Calcule a probabilidade de que os seus recursos sejam suficientes.

Passo 1

O enunciado dá cinco despesas independentes, cada uma modelada por uma v.a. Normal, e pede a probabilidade de que a soma dessas despesas seja menor ou igual a 10\,000 u.m. Para resolver, vamos usar que a soma de Normais independentes também é Normal, com média igual à soma das médias e variância igual à soma das variâncias.

Passo 2

Calculamos a média da soma S das despesas somando as médias individuais:
\mu_S = 3\,000 + 2\,000 + 1\,000 + 4\,500 + 800 = 11\,300.

Passo 3

Calculamos a variância de S somando as variâncias individuais (quadrados dos desvios-padrão):
\sigma_S^2 = 1\,000^2 + 800^2 + 300^2 + 1\,500^2 + 100^2 =1\,000\,000 + 640\,000 + 90\,000 + 2\,250\,000 + 10\,000 =3\,990\,000.
Logo,
\sigma_S = \sqrt{3\,990\,000}\approx1\,997{,}5.

Passo 4

Assim, S\sim N(\mu_S,\sigma_S^2)=N(11\,300,3\,990\,000). Queremos
P(S \le 10\,000).

Passo 5

Padronizando,
Z = \frac{S - \mu_S}{\sigma_S},
então
P(S \le 10\,000) = P\!\Bigl(Z \le \frac{10\,000 - 11\,300}{1\,997{,}5}\Bigr) = P\!\bigl(Z \le -0{,}65\bigr).
Pela tabela da Normal, \Phi(-0{,}65)\approx0{,}258.

Resposta

A probabilidade de os recursos serem suficientes é aproximadamente 0,258 (25,8%).

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