Considere o espaço amostral \Omega=[0,1] \cap \mathbb{R} e, para qualquer A \subset \Omega, defina uma função P(A) como sendo o comprimento de A. Seja \mathcal{F} a \sigma-álgebra gerada pelos intervalos abertos de \Omega. Mostre que P(A) é uma probabilidade.

Passo 1

O enunciado define o espaço de probabilidade (\Omega,\mathcal{F},P) em que
\Omega=[0,1], \mathcal{F} é a \sigma-álgebra gerada pelos intervalos abertos de \Omega (ou seja, a álgebra de Borel em [0,1]) e, para qualquer A\subset\Omega,
P(A)=\text{comprimento de }A.
Queremos mostrar que P satisfaz os axiomas de probabilidade:
1. P(\emptyset)=0.
2. P(\Omega)=1.
3. Se (A_n)_{n\ge1}\subset\mathcal{F} são disjuntos dois a dois, então
\displaystyle P\Bigl(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\Bigr)=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n).
Para isso, vamos usar a construção clássica da medida-comprimento (Lebesgue) por extensão de uma pré-medida sobre intervalos.

Passo 2

Definimos o conjunto
\mathcal{A}=\{\text{uniões finitas de intervalos do tipo }(a,b]\subset[0,1]\}õ
que é um álgebra de conjuntos contendo \emptyset e [0,1].
Em \mathcal{A} definimos a pré-medida
\mu\bigl((a_1,b_1]\cup\cdots\cup(a_k,b_k]\bigr) =\sum_{i=1}^k(b_i-a_i).
É imediato que \mu(\emptyset)=0 e que, quando dois conjuntos de \mathcal{A} são disjuntos, a soma dos comprimentos é a medida da união (aditividade finita).

Passo 3

Pelo Teorema de Extensão de Carathéodory, a pré-medida \mu em \mathcal{A} estende-se de forma única a uma medida \overline\mu sobre a \sigma-álgebra gerada por \mathcal{A}.
Mas a \sigma-álgebra gerada por intervalos abertos coincide com a gerada por intervalos do tipo (a,b], ou seja, é exatamente \mathcal{F}.
Portanto existe medida \overline\mu:\mathcal{F}\to[0,1] que coincide com \mu em \mathcal{A} e, em particular, satisfaz a aditividade contável:
\overline\mu\Bigl(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}\overline\mu(A_n),
sempre que A_n\in\mathcal{F} são disjuntos.

Passo 4

Como a extensão \overline\mu atribui comprimento aos conjuntos e coincide com \mu nos intervalos, basta notar que
\overline\mu([0,1])=\mu((0,1])=1-0=1.
Logo
1. \overline\mu(\emptyset)=0.
2. \overline\mu([0,1])=1.
3. \overline\mu é contevelmente aditiva em \mathcal{F}.

Resposta

Portanto, P(A)=\overline\mu(A) é uma medida de probabilidade em (\Omega,\mathcal{F}), isto é, satisfaz todos os axiomas de probabilidade.

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