Considere o espaço amostral \Omega=[0,2] \cap \mathbb{R}. Seja \mathcal{F} a \sigma-álgebra gerada pelos intervalos abertos de \Omega (usualmente denominada de \sigma-álgebra de Borel). Para qualquer A \in \mathcal{F}, mostre que a função f(A)=\int_{A} \frac{1}{2} d x é probabilidade. A integral aqui é de Riemman apesar da notação não usual.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o espaço amostral \Omega=[0,2], a \sigma-álgebra de Borel \mathcal F e definimos, para A\in\mathcal F,
f(A)=\int_{A}\frac12\,dx.
Queremos mostrar que f satisfaz as três propriedades de medida de probabilidade:
  1. f(\varnothing)=0.
  2. f(\Omega)=1.
  3. Para qualquer sequência mutualmente disjunta (A_n)_{n\ge1}\subset\mathcal F,
f\Bigl(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\Bigr) =\sum_{n=1}^\infty f(A_n).

Passo 2

Verificamos primeiro a nulidade em \varnothing e a normalização em \Omega. Pela definição da integral de Riemann,
f(\varnothing) =\int_{\varnothing}\frac12\,dx =0
e
f(\Omega) =\int_{0}^{2}\frac12\,dx =\frac12\cdot(2-0) =1.

Passo 3

Agora seja (A_n)_{n\ge1} uma sequência de conjuntos disjuntos em \mathcal F e seja
S_k=\bigcup_{n=1}^k A_n.
Como os A_n são disjuntos, a função indicadora de S_k é soma das indicadoras:
1_{S_k}(x) =\sum_{n=1}^k1_{A_n}(x).
Então
f(S_k) =\int_{S_k}\frac12\,dx =\int_{0}^{2}\frac12\,1_{S_k}(x)\,dx =\sum_{n=1}^k\int_{0}^{2}\frac12\,1_{A_n}(x)\,dx =\sum_{n=1}^kf(A_n).

Passo 4

Como S_k cresce para \bigcup_{n=1}^\infty A_n, pela propriedade de continuidade de integrais em conjuntos crescentes (teorema da convergência monótona para integrais de funções não negativas) temos
\lim_{k\to\infty}f(S_k) =f\Bigl(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\Bigr).
Mas do passo anterior \lim_{k\to\infty}f(S_k)=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^kf(A_n)=\sum_{n=1}^\infty f(A_n). Logo
f\Bigl(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\Bigr) =\sum_{n=1}^\infty f(A_n).

Resposta

A função f satisfaz
  1. f(\varnothing)=0,
  2. f(\Omega)=1,
  3. contabilidade sobre uniões contáveis de conjuntos disjuntos.
    Portanto f é uma probabilidade em (\Omega,\mathcal F).

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