Considere o espaço amostral
. Seja
a
-álgebra gerada pelos intervalos abertos de
(usualmente denominada de
-álgebra de Borel). Para qualquer
, mostre que a função
é probabilidade. A integral aqui é de Riemman apesar da notação não usual.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos o espaço amostral
, a
-álgebra de Borel
e definimos, para
,
Queremos mostrar que
satisfaz as três propriedades de medida de probabilidade:
-
. -
. - Para qualquer sequência mutualmente disjunta
,
Passo 2
Verificamos primeiro a nulidade em
e a normalização em
. Pela definição da integral de Riemann,
e
Passo 3
Agora seja
uma sequência de conjuntos disjuntos em
e seja
Como os
são disjuntos, a função indicadora de
é soma das indicadoras:
Então
Passo 4
Como
cresce para
, pela propriedade de continuidade de integrais em conjuntos crescentes (teorema da convergência monótona para integrais de funções não negativas) temos
Mas do passo anterior
. Logo
Resposta
A função
satisfaz
-
, -
, - contabilidade sobre uniões contáveis de conjuntos disjuntos.
Portantoé uma probabilidade em .