Demonstre as seguintes relações entre conjuntos.
b.
.
b.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, para todo
, que a função indicadora satisfaz
O conteúdo aqui é a definição de função indicadora de um conjunto e propriedades básicas de multiplicação e mínimo de valores em
.
Passo 2
Lembremos a definição: para qualquer conjunto
Logo,
, isto é,
e
.
Passo 3
Agora analisamos o produto
. Como cada um toma valores em
, temos:
- Se
e , então e , logo . - Em qualquer outro caso (se
ou ), ao menos um dos indicadores vale , e o produto é .
Isso coincide exatamente com o valor de
. Portanto,
Passo 4
Para ver que esse produto é também o mínimo, basta observar que, para valores em
, multiplicação e mínimo coincidem:
Em cada caso
. Logo,