Demonstre as seguintes relações entre conjuntos.
b. I_{A \cap B}(\omega)=I_{A}(\omega) I_{B}(\omega)=\min \left(I_{A}(\omega), I_{B}(\omega)\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para todo \omega, que a função indicadora satisfaz
I_{A\cap B}(\omega)=I_A(\omega)\,I_B(\omega) \quad\text{e}\quad I_A(\omega)\,I_B(\omega)=\min\bigl(I_A(\omega),I_B(\omega)\bigr).
O conteúdo aqui é a definição de função indicadora de um conjunto e propriedades básicas de multiplicação e mínimo de valores em \{0,1\}.

Passo 2

Lembremos a definição: para qualquer conjunto C\), \[I_C(\omega)= \begin{cases} 1,&\text{se }\omega\in C,\\\\ 0,&\text{se }\omega\notin C. \end{cases}
Logo, I_{A\cap B}(\omega)=1\] exatamente quando \(\omega\in A\cap B, isto é, \omega\in A e \omega\in B.

Passo 3

Agora analisamos o produto I_A(\omega)\,I_B(\omega). Como cada um toma valores em \{0,1\}, temos:
  • Se \omega\in A e \omega\in B, então I_A(\omega)=1 e I_B(\omega)=1, logo I_A(\omega)\,I_B(\omega)=1.
  • Em qualquer outro caso (se \omega\notin A ou \omega\notin B), ao menos um dos indicadores vale 0, e o produto é 0.
Isso coincide exatamente com o valor de I_{A\cap B}(\omega). Portanto,
I_{A\cap B}(\omega)=I_A(\omega)\,I_B(\omega).

Passo 4

Para ver que esse produto é também o mínimo, basta observar que, para valores em \{0,1\}, multiplicação e mínimo coincidem:
\begin{array}{c|cc} I_A(\omega)&0&1\\hline I_B(\omega)=0&0\\ (\min)=0\\ (\times)=0&0\\ (\min)=0\\ (\times)=0\\\ I_B(\omega)=1&0\\ (\min)=0\\ (\times)=0&1\\ (\min)=1\\ (\times)=1 \end{array}
Em cada caso \min\bigl(I_A(\omega),I_B(\omega)\bigr)=I_A(\omega)\,I_B(\omega). Logo,
I_A(\omega)\,I_B(\omega)=\min\bigl(I_A(\omega),I_B(\omega)\bigr).

Resposta

I_{A\cap B}(\omega)=I_A(\omega)\,I_B(\omega) =\min\bigl(I_A(\omega),I_B(\omega)\bigr).

Exercícios de Livros Relacionados