Considere os eventos A, B e C em \Omega e suponha que P\text{(C)}>0 e P(B \cap C)>0. Verifique se são verdadeiras as afirmações (justifique sua resposta):
a. P(A \cap B \mid C)=P(A \mid B \cap C) P(B \mid C).
b. P(A \cap B \mid C)=P(A \mid C) P(B \mid C).

Passo 1

Resumindo, temos eventos A, B e C com P\text{(C)}>0 e P(B\cap C)>0. O que queremos é examinar duas igualdades envolvendo probabilidade condicional:
a. P(A\cap B\mid C)\;=\;P(A\mid B\cap C)\,P(B\mid C).
b. P(A\cap B\mid C)\;=\;P(A\mid C)\,P(B\mid C).
Para isso, vamos usar a definição de probabilidade condicional:
P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}.

Passo 2

Mostramos (a).
Pela definição,
P(A\cap B\mid C)=\frac{P(A\cap B\cap C)}{P\text{(C)}},
P(B\mid C)=\frac{P(B\cap C)}{P\text{(C)}},
P(A\mid B\cap C)=\frac{P(A\cap B\cap C)}{P(B\cap C)}.
Multiplicando P(A\mid B\cap C) por P(B\mid C) obtemos
P(A\mid B\cap C)\,P(B\mid C) =\frac{P(A\cap B\cap C)}{P(B\cap C)} \;\times\; \frac{P(B\cap C)}{P\text{(C)}} =\frac{P(A\cap B\cap C)}{P\text{(C)}} =P(A\cap B\mid C).
Logo, a afirmação (a) é sempre verdadeira.

Passo 3

Analisamos (b).
Pela definição,
P(A\mid C)=\frac{P(A\cap C)}{P\text{(C)}}, \quad P(B\mid C)=\frac{P(B\cap C)}{P\text{(C)}}.
Então
P(A\mid C)\,P(B\mid C) =\frac{P(A\cap C)}{P\text{(C)}}\;\times\;\frac{P(B\cap C)}{P\text{(C)}} =\frac{P(A\cap C)\,P(B\cap C)}{[P\text{(C)}]^2}.
Por outro lado,
P(A\cap B\mid C)=\frac{P(A\cap B\cap C)}{P\text{(C)}}.
Em geral não vale
\frac{P(A\cap B\cap C)}{P\text{(C)}} \;=\; \frac{P(A\cap C)\,P(B\cap C)}{[P\text{(C)}]^2},
a menos que A e B sejam independentes condicionalmente a C. Portanto, sem essa hipótese extra, (b) é falsa.

Resposta

a. Verdadeira.
b. Falsa (exceto no caso de independência condicional de A e B dado C).

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