Uma moeda equilibrada é lançada duas vezes.
a. Se o seu interesse é o número de caras, qual seria o espaço amostral?
b. Apresente um outro espaço amostral mais detalhado.
c. Estabeleça uma correspondência entre os elementos dos espaços amostrais apresentados.
d. Indique as probabilidades dos elementos em cada espaço amostral.
e. Com o espaço amostral de (a), você poderia calcular a probabilidade de ocorrer cara no primeiro ou coroa no segundo lançamento?
f. Como ficaria a resposta de (e), utilizando o espaço amostral de (b)?

Passo 1

O enunciado trata de lançar uma moeda equilibrada duas vezes e nos pede dois espaços amostrais: um em que só nos interessa o número de caras e outro mais detalhado, além de estabelecer correspondências, atribuir probabilidades e calcular a probabilidade de “cara no primeiro ou coroa no segundo” em cada espaço.

Passo 2

Para responder a (a), como só nos interessa o número total de caras em dois lançamentos, o espaço amostral é
\Omega_a = \{0,\,1,\,2\}.
Aqui cada elemento indica quantas caras saem no total.

Passo 3

Para (b), usamos o espaço de resultados elementares completos dos dois lançamentos:
\Omega_b = \{(H,H),\,(H,T),\,(T,H),\,(T,T)\}.
Em cada par, a primeira componente é o resultado do primeiro lançamento e a segunda, do segundo.

Passo 4

Em (c), a correspondência entre \Omega_b e \Omega_a é dada por agrupar os elementos de \Omega_b que têm o mesmo número de caras:
\begin{aligned} 0&\longleftrightarrow \{(T,T)\},\\\\ 1&\longleftrightarrow \{(H,T),\,(T,H)\},\\\\ 2&\longleftrightarrow \{(H,H)\}. \end{aligned}

Passo 5

Em (d), como a moeda é equilibrada, em \Omega_b cada resultado elementar tem probabilidade
P(\,(H,H)\,)=P(\,(H,T)\,)=P(\,(T,H)\,)=P(\,(T,T)\,)=\tfrac14.
Em \Omega_a usamos a soma dessas probabilidades:
P(0)=P(\{T,T\})=\tfrac14,\quad P(1)=P(\{H,T\}\cup\{T,H\})=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12,\quad P(2)=P(\{H,H\})=\tfrac14.

Passo 6

Em (e), o evento “cara no primeiro ou coroa no segundo” não pode ser identificado apenas em \Omega_a=\{0,1,2\}, pois esse espaço não distingue em que lançamento as caras ou coroas ocorrem.

Passo 7

Em (f), usando \Omega_b, o evento
\{\,\text{1º=H}\}\cup\{\,\text{2º=T}\}ºº é
\{(H,H),\,(H,T)\}\;\cup\;\{(H,T),\,(T,T)\} =\{(H,H),\,(H,T),\,(T,T)\},
cuja probabilidade é
P=\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14=\tfrac34.

Resposta

a) \Omega_a=\{0,1,2\}
b) \Omega_b=\{(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)\}
c) 0\leftrightarrow\{(T,T)\},\;1\leftrightarrow\{(H,T),(T,H)\},\;2\leftrightarrow\{(H,H)\}
d) Em \Omega_b, cada resultado tem P=1/4. Em \Omega_a, P(0)=1/4, P(1)=1/2, P(2)=1/4.
e) Não é possível calcular “cara no 1.º ou coroa no 2.º” usando só \Omega_a.
f) Em \Omega_b, esse evento é \{(H,H),(H,T),(T,T)\} com P=3/4.

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