Demonstre que se P(A)=P(B)=3 / 4, então P(A \mid B) \geq 2 / 3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado \,P(A)=P(B)=\tfrac34, temos
P(A\mid B)\ge \tfrac23.
Aqui usamos definição de probabilidade condicional e a desigualdade que vem de P(A\cup B)\le1.

Passo 2

Pela fórmula de inclusão–exclusão,
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\le1.
Substituindo P(A)=P(B)=\tfrac34 resulta
\tfrac34+\tfrac34 - P(A\cap B)\le1 \quad\Longrightarrow\quad P(A\cap B)\ge\tfrac32-1=\tfrac12.

Passo 3

Pela definição de probabilidade condicional,
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \ge\frac{\tfrac12}{\tfrac34} =\tfrac23.

Resposta

P(A\mid B)\ge\tfrac23.

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