Considere \Omega=\{1,2,3\} e a \sigma-álgebra do conjunto das partes de \Omega. Defina uma candidata à função de probabilidade da seguinte forma: \emptyset e \Omega têm probabilidade 0 e 1 , respectivamente. Os demais elementos da \sigma-álgebra têm
todos probabilidade 1/6. Você acha que essa candidata satisfaz os Axiomas de Kolmogorov?

Passo 1

O enunciado dá o espaço de probabilidade \Omega=\{1,2,3\} com a \sigma-álgebra de todas as partes de \Omega. Define-se uma função P por
P(\emptyset)=0, P(\Omega)=1 e para qualquer A\subset\Omega diferente de \emptyset e de \Omega toma-se
P(A)=\tfrac{1}{6}.
Vamos verificar se P satisfaz os três axiomas de Kolmogorov: não-negatividade, normalização e aditividade contável.

Passo 2

Axioma 1 (não-negatividade): exige-se P(A)\ge0 para todo A\subset\Omega. Aqui P(\emptyset)=0, P(\Omega)=1 e P(A)=\tfrac16>0 para os demais A. Logo o Axioma 1 está satisfeito.

Passo 3

Axioma 2 (normalização): exige-se P(\Omega)=1. De fato foi definida P(\Omega)=1. Logo o Axioma 2 também está satisfeito.

Passo 4

Axioma 3 (aditividade contável): para famílias disjuntas (A_i)_{i=1}^{\infty} deve valer
P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\Bigr)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i).
Basta achar um contra-exemplo finito. Tome os átomos disjuntos
\{1\},\{2\},\{3\}. Então
\bigcup_{i=1}^{3}\{i\}=\Omega,
de modo que o lado esquerdo é
P(\Omega)=1,
enquanto o lado direito é
P(\{1\})+P(\{2\})+P(\{3\}) =\tfrac16+\tfrac16+\tfrac16 =\tfrac12\neq1.
Como falha a igualdade do Axioma 3, a função P não é aditiva mesmo sobre três conjuntos disjuntos. Portanto ela não satisfaz todos os axiomas de Kolmogorov.

Resposta

Não. A função falha na aditividade contável, pois P(\{1\})+P(\{2\})+P(\{3\})=\tfrac12\neq P(\Omega)=1.

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