Considere
e a
-álgebra do conjunto das partes de
. Defina uma candidata à função de probabilidade da seguinte forma:
e
têm probabilidade 0 e 1 , respectivamente. Os demais elementos da
-álgebra têm
todos probabilidade 1/6. Você acha que essa candidata satisfaz os Axiomas de Kolmogorov?
todos probabilidade 1/6. Você acha que essa candidata satisfaz os Axiomas de Kolmogorov?
Passo 1
O enunciado dá o espaço de probabilidade
com a
-álgebra de todas as partes de
. Define-se uma função
por
,
e para qualquer
diferente de
e de
toma-se
Vamos verificar se
satisfaz os três axiomas de Kolmogorov: não-negatividade, normalização e aditividade contável.
Passo 2
Axioma
(não-negatividade): exige-se
para todo
. Aqui
,
e
para os demais
. Logo o Axioma
está satisfeito.
Passo 3
Axioma
(normalização): exige-se
. De fato foi definida
. Logo o Axioma
também está satisfeito.
Passo 4
Axioma
(aditividade contável): para famílias disjuntas
deve valer
Basta achar um contra-exemplo finito. Tome os átomos disjuntos
. Então
de modo que o lado esquerdo é
enquanto o lado direito é
Como falha a igualdade do Axioma
, a função
não é aditiva mesmo sobre três conjuntos disjuntos. Portanto ela não satisfaz todos os axiomas de Kolmogorov.
Resposta
Não. A função falha na aditividade contável, pois
.