Sejam A e B subconjuntos de um espaço amostral \Omega. Defina uma sequência \left\{A_{n} ; n \geq 1\right\} tal que A_{2 n-1}=A e A_{2 n}=B. Mostre que
\varliminf A_{n}=A \cap B \text { e } \overline{\lim } A_{n}=A \cup B

Passo 1

O enunciado define uma sequência de conjuntos \{A_n\} em que
A_{2n-1}=A,\quad A_{2n}=B\quad(n\ge1).
O conteúdo é a definição de
\varliminf A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k \quad\text{e}\quad \overline{\lim}A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k.
Vamos usar essas definições para calcular primeiro \varliminf A_n e depois \overline{\lim}A_n.

Passo 2

Fixe um n\ge1. Considere o conjunto
\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k.
Como a sequência alterna A,B,A,B,\dots, para qualquer n o “cauda” \{A_k:k\ge n\} contém infinitamente muitos A e infinitamente muitos B. Logo um ponto x está em \bigcap_{k=n}^{\infty}A_k se, e somente se, x\in A e x\in B. Portanto
\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k \;=\; A\cap B \quad\text{para todo }n.

Passo 3

Pela definição de liminf,
\varliminf A_n =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_k =\bigcup_{n=1}^{\infty}(A\cap B) =A\cap B.

Passo 4

Agora fixe n\ge1 e considere
\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k.
A mesma alternância garante que, na cauda \{A_k:k\ge n\}, há pelo menos um A e pelo menos um B. Então x pertence a essa união se, e somente se, x\in A ou x\in B. Assim
\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k \;=\; A\cup B \quad\text{para todo }n.

Passo 5

Finalmente, pela definição de limsup,
\overline{\lim}A_n =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k =\bigcap_{n=1}^{\infty}(A\cup B) =A\cup B.

Resposta

\varliminf A_n = A\cap B
\overline{\lim}A_n = A\cup B

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