Seja \mathcal{F} uma \sigma-álgebra de conjuntos de \Omega. Fixamos B \in \mathcal{F} e definimos uma nova coleção de subconjuntos \mathcal{G}=\{C: C=A \cap B, para algum A \in \mathcal{F}\}. Mostre que \mathcal{G} é uma \sigma-álgebra de subconjuntos de B.

Passo 1

O enunciado está em teoria de medidas: temos uma \sigma-álgebra \mathcal{F} sobre \Omega e um conjunto fixo B\in\mathcal{F}. Definimos
\mathcal{G}=\{\,C : C = A\cap B\text{ para algum }A\in\mathcal{F}\}.
Queremos mostrar que \mathcal{G} é uma \sigma-álgebra de subconjuntos de B, ou seja:
1. B\in\mathcal{G}.
2. Se C\in\mathcal{G} então seu complementar relativo a B, B\setminus C, pertence a \mathcal{G}.
3. Se (C_n)_{n\ge1}\subset\mathcal{G} então \bigcup_{n=1}^\infty C_n\in\mathcal{G}.

Passo 2

Mostramos que B\in\mathcal{G}. Basta escolher A=\Omega\in\mathcal{F}, pois
\Omega\cap B = B,
logo B\in\mathcal{G}.

Passo 3

Mostramos fechamento por complementação relativa a B. Seja C\in\mathcal{G}. Então existe A\in\mathcal{F} tal que C=A\cap B. O complemento de C em B é
B\setminus C \;=\; B\setminus(A\cap B) \;=\;B\cap(\Omega\setminus A),
e como \Omega\setminus A\in\mathcal{F} (fechamento de \mathcal{F} por complementação), segue B\setminus C\in\mathcal{G}.

Passo 4

Mostramos fechamento por uniões contáveis. Seja (C_n)_{n\ge1}\subset\mathcal{G}. Para cada n existe A_n\in\mathcal{F} tal que C_n = A_n\cap B. Então
\bigcup_{n=1}^\infty C_n =\bigcup_{n=1}^\infty (A_n\cap B) =\Bigl(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\Bigr)\cap B.
Como \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{F} por ser \mathcal{F} uma \sigma-álgebra, concluímos \bigcup_{n=1}^\infty C_n\in\mathcal{G}.

Resposta

Logo \mathcal{G} satisfaz os três axiomas de \sigma-álgebra sobre o espaço B e, portanto, é uma \sigma-álgebra de subconjuntos de B.

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