Seja
uma
-álgebra de conjuntos de
. Fixamos
e definimos uma nova coleção de subconjuntos
, para algum
. Mostre que
é uma
-álgebra de subconjuntos de
.
Passo 1
O enunciado está em teoria de medidas: temos uma
-álgebra
sobre
e um conjunto fixo
. Definimos
Queremos mostrar que
é uma
-álgebra de subconjuntos de
, ou seja:
.
.
. Se
então seu complementar relativo a
,
, pertence a
.
. Se
então
.
Passo 2
Mostramos que
. Basta escolher
, pois
logo
.
Passo 3
Mostramos fechamento por complementação relativa a
. Seja
. Então existe
tal que
. O complemento de
em
é
e como
(fechamento de
por complementação), segue
.
Passo 4
Mostramos fechamento por uniões contáveis. Seja
. Para cada
existe
tal que
. Então
Como
por ser
uma
-álgebra, concluímos
.
Resposta
Logo
satisfaz os três axiomas de
-álgebra sobre o espaço
e, portanto, é uma
-álgebra de subconjuntos de
.