Construa a “menor” \sigma-álgebra em [0,1] \cap \mathbb{R}, contendo o subconjunto \{0,1 / 2).

Passo 1

O enunciado pede a menor \sigma-álgebra em [0,1] que contenha o conjunto
A = [0,\,\tfrac{1}{2}).
Para construir essa \sigma-álgebra, lembramos que ela deve conter \emptyset, o espaço todo [0,1], ser fechada por complemento relativo a [0,1] e por uniões (e interseções) contáveis.

Passo 2

Começamos incluindo
A = [0,\,\tfrac12)
e também deve conter seu complemento relativo a [0,1]. O complemento é
A^c = [0,1]\setminus [0,\,\tfrac12) = [\tfrac12,\,1].

Passo 3

Agora checamos o fechamento por uniões e interseções:
  • A união de A com A^c é
A\cup A^c = [0,1].
  • A interseção de A com A^c é
A\cap A^c = \emptyset.
Como já temos \emptyset e [0,1], não surgem outros conjuntos novos.

Resposta

A menor \sigma-álgebra em [0,1] que contém [0,\tfrac{1}{2}) é
\bigl\{\,\emptyset,\;[0,\tfrac{1}{2}),\;[\tfrac{1}{2},1],\;[0,1]\bigr\}.

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