Considere um polígono convexo de n lados e suponha que não há duas de suas diagonais que sejam paralelas nem três que concorram em um mesmo ponto que não seja vértice.
a) Quantos são os pontos de interseção dessas diagonais?
b) Quantos desses pontos de interseção são interiores ao polígono?
c) Quantos são exteriores?

Passo 1

O enunciado fala de um polígono convexo de n lados cujas diagonais, vistas como retas, não são paralelas duas a duas nem possuem três delas concorrendo num ponto que não seja vértice. Queremos:
  1. Quantos pontos de interseção existem ao todo entre essas retas-diagonais?
  2. Quantos desses pontos estão no interior do polígono?
  3. Quantos estão no exterior?

Passo 2

Primeiro, contamos quantas diagonais o polígono tem. Cada diagonal liga dois vértices não-adjacentes. Há binomn2 pares de vértices no total e n pares que formam arestas, logo o número de diagonais é
N = binomn2 - n = n(n-1)2 - n = n(n-3)2

Passo 3

Como não há paralelismo nem três retas concorrendo fora dos vértices, cada par de diagonais (vistas como retas) determina exatamente um ponto de interseção. Logo o total de interseções é
binomN2 = binomtfracn(n-3)22

Passo 4

Das interseções acima, as que caem no interior do polígono são justamente aquelas em que os dois segmentos-diagonais se cruzam propriamente dentro. Isso ocorre sempre que escolhemos quatro vértices distintos e traçamos as duas diagonais que os interligam de modo cruzado. O número de escolhas de quatro vértices é
binomn4

Passo 5

Finalmente, o número de interseções que ficam no exterior é a diferença entre o total de pontos de interseção de retas-diagonais e as que ocorrem no interior. Portanto
binomtfracn(n-3)22 ;-;binomn4

Resposta

a) binomtfracn(n-3)22
b) binomn4
c) binomtfracn(n-3)22 ;-;binomn4

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