Considere um processo de Poisson com parâmetro
.
(a) Para
fixo, seja
o tempo transcorrido até o instante
desde a ocorrência (“chegada”) imediatamente anterior. (
se não houve nenhuma chegada em (
.) Calcule a distribuição de
. (Note que essa distribuição é aproximadamente exponencial quando
é grande).
(b) Se
é o tempo transcortido entre a
-ésima chegada e a chegada número
, qual a distribuição de
? Determine a distribuição de
tempo que transcorre entre o instante
e a próxima chegada.
(c) Mostre que
o tempo entre as chegadas que “cercam” o instante
, é estocasticamente estritamente maior que
, i.e.,
. (Esse é o “paradoxo do tempo de espera”.)
(a) Para
(b) Se
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado trata de um processo de Poisson de taxa
. Para um instante fixo
definimos:
– tempo desde a última chegada antes de
(caso não haja nenhuma chegada em
, então
).
– tempo entre a
-ésima e a
-ésima chegada.
– tempo entre
e a próxima chegada após
.
Conteúdo necessário: propriedades de processo de Poisson (independência incrementos, memória sem-recorrência e interchegadas exponenciais).
–
–
–
Conteúdo necessário: propriedades de processo de Poisson (independência incrementos, memória sem-recorrência e interchegadas exponenciais).
Passo 2
Para
, o evento
equivale a “nenhuma chegada em
”. Logo
Isto gera, para
,
Além disso há massa em
quando não houve nenhuma chegada em
, isto é
Passo 3
Numa renovação de Poisson cada
é
. Como o processo é memória-sem-recorrência, o futuro após
não “vê” o passado, de modo que
independente de
.
Passo 4
Para
não há contribuição da massa em
, logo, usando independência e que
tem função de distribuição
,
Fazendo a integral, reconhece-se a CDF de
:
Passo 5
A CDF de
é
Para todo
temos
ou seja
Isto demonstra o “paradoxo do tempo de espera”.
Resposta
(a) Para
,
(b)
e
, independentes.
(c)
tem CDF
, que é estritamente menor que
, logo
(c)