Considere um processo de Poisson com parâmetro lambda>0.
(a) Para t>0 fixo, seja Zt o tempo transcorrido até o instante t desde a ocorrência (“chegada”) imediatamente anterior. ( Z1=t se não houve nenhuma chegada em ( 0, t].) Calcule a distribuição de Zr. (Note que essa distribuição é aproximadamente exponencial quando t é grande).
(b) Se Tn+1 é o tempo transcortido entre a n-ésima chegada e a chegada número n+1, qual a distribuição de Tn+1 ? Determine a distribuição de Wt= tempo que transcorre entre o instante t e a próxima chegada.
(c) Mostre que Zt+Wo o tempo entre as chegadas que “cercam” o instante t, é estocasticamente estritamente maior que Tn+1, i.e., P(Zt+Wt <= x)<P(Tn+1 <= x) forall x>0. (Esse é o “paradoxo do tempo de espera”.)

Passo 1

O enunciado trata de um processo de Poisson de taxa lambda>0. Para um instante fixo t>0 definimos:
Zt= tempo desde a última chegada antes de t (caso não haja nenhuma chegada em (0,t], então Zt=t).
Tn+1= tempo entre a n-ésima e a (n+1)-ésima chegada.
Wt= tempo entre t e a próxima chegada após t.
Conteúdo necessário: propriedades de processo de Poisson (independência incrementos, memória sem-recorrência e interchegadas exponenciais).

Passo 2

Para 0<= x<t, o evento Zt>x equivale a “nenhuma chegada em (t-x,t]”. Logo
P(Zt>x)=e^-lambda x
Isto gera, para 0<= x<t,
P(Zt<= x)=1-e^-lambda x
Além disso há massa em x=t quando não houve nenhuma chegada em (0,t], isto é
P(Zt=t)=e^-lambda t

Passo 3

Numa renovação de Poisson cada Tn+1 é Exp(lambda). Como o processo é memória-sem-recorrência, o futuro após t não “vê” o passado, de modo que
Wtsim Exp(lambda),
independente de Zt.

Passo 4

Para 0<x<= t não há contribuição da massa em Zt=t, logo, usando independência e que Wt tem função de distribuição 1-e^-lambda y,
P(Zt+Wt<= x) =integral0^xPl(Wt<= x-zr),lambda e^-lambda z,dz =integral0^xl(1-e^-lambda(x-z)r)lambda e^-lambda z,dz
Fazendo a integral, reconhece-se a CDF de Gamma(2,lambda):
P(Zt+Wt<= x) =1-e^-lambda x(1+lambda x)

Passo 5

A CDF de Tn+1simExp(lambda) é
P(Tn+1<= x)=1-e^-lambda x
Para todo x>0 temos
1-e^-lambda x(1+lambda x);<;1-e^-lambda x,
ou seja
P(Zt+Wt<= x);<;P(Tn+1<= x)
Isto demonstra o “paradoxo do tempo de espera”.

Resposta

(a) Para 0<= x<t,
P(Zt<= x)=1-e^-lambda x, P(Zt=t)=e^-lambda t
(b)
Tn+1simExp(lambda) e WtsimExp(lambda), independentes.
(c)
Zt+WtsimGamma(2,lambda) tem CDF 1-e^-lambda x(1+lambda x), que é estritamente menor que 1-e^-lambda x, logo
P(Zt+Wt<= x);<;P(Tn+1<= x)forall x>0

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