Suponha que em um temporal, o número
(a) Mostre que
(b) Usando métodos probabilisticos, demonstre que
(Sugestão. Calcule a esperança de (X] de duas maneiras diferentes).
Passo 1
O enunciado trata de um modelo hierárquico em que, condicionalmente a
,
e simultaneamente
.
Queremos (a) obter a distribuição marginal de , isto é
Queremos (a) obter a distribuição marginal de
e depois (b) usar um método probabilístico (sugestão: expectativa de
calculada de duas maneiras) para demonstrar a soma infinita
Passo 2
Escrevemos
por mistura:
Reunindo potências de
lambda e exponenciais:
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
u=2lambda ,
dlambda=du/2 . Então
Mas
integral0^inftyu^k+x-1e^-u,du=Gamma(k+x) . Logo,
Passo 4
Para provar
sumk=1^inftybinomk+n-1ntfrac12^k=2^n ,
escolhemosx=n inteiro no resultado do item (a). Sabemos que
lambdasimGamma(n,1) tem esperança
E[lambda]=n .
Por outro lado,
escolhemos
Por outro lado,
Mas também
Observando
Gamma(k+n)/Gamma(k+1)=(k+n-1)!/k!=(k+n-1)!/(k!,(n-1)!)cdot(n-1)!=binomk+n-1k,(n-1)! , mas é mais direto usar a identidade combinatória
que se verifica por manipulação de fatoriais. Assim,
Mas sabemos que
E[X]=n . Logo,
Resposta
(a)
P(X=k)=Gamma(k+x)Gamma(x),Gamma(k+1)l(tfrac12r)^k+x,;k=0,1,2,dots .
(b) sumk=1^inftybinomk+n-1ntfrac12^k=2^n .
(b)