Suponha que em um temporal, o número
(a) Mostre que
(b) Usando métodos probabilisticos, demonstre que
(Sugestão. Calcule a esperança de (X] de duas maneiras diferentes).

Passo 1

O enunciado trata de um modelo hierárquico em que, condicionalmente a lambda,
,XmidlambdasimPoisson(lambda) e simultaneamente
lambdasimGamma(x,,beta=1).
Queremos (a) obter a distribuição marginal de X, isto é
P(X=k)=integral0^inftyP(X=kmidlambda),f(lambda),dlambda,
e depois (b) usar um método probabilístico (sugestão: expectativa de X calculada de duas maneiras) para demonstrar a soma infinita
sumk=1^inftybinomk+n-1n12^k=2^n, n=1,2,dots

Passo 2

Escrevemos P(X=k) por mistura:
P(X=k) =integral0^infty underbracee^-lambdalambda^kk!P(X=kmidlambda) ;underbrace1Gamma(x)lambda^x-1e^-lambdaf(lambda),dlambda
Reunindo potências de lambda e exponenciais:
P(X=k) =1k!,Gamma(x) integral0^infty lambda^k+x-1e^-2lambda,dlambda

Passo 3

Fazemos a mudança de variável u=2lambda, dlambda=du/2. Então
integral0^inftylambda^k+x-1e^-2lambda,dlambda =integral0^inftyl(tfrac u2r)^,k+x-1e^-udu2 =12^,k+xintegral0^inftyu^k+x-1e^-u,du
Mas integral0^inftyu^k+x-1e^-u,du=Gamma(k+x). Logo,
P(X=k) =1k!,Gamma(x)Gamma(k+x)2^,k+x =Gamma(k+x)Gamma(x),Gamma(k+1)l(tfrac12r)^k+x

Passo 4

Para provar
sumk=1^inftybinomk+n-1ntfrac12^k=2^n,
escolhemos x=n inteiro no resultado do item (a). Sabemos que
lambdasimGamma(n,1) tem esperança E[lambda]=n.
Por outro lado,
E[X]=El[E[Xmidlambda]r] =E[lambda] =n
Mas também
E[X] =sumk=0^inftyk,P(X=k) =sumk=1^inftyk, Gamma(k+n)Gamma(n),Gamma(k+1)l(tfrac12r)^k+n
Observando Gamma(k+n)/Gamma(k+1)=(k+n-1)!/k!=(k+n-1)!/(k!,(n-1)!)cdot(n-1)!=binomk+n-1k,(n-1)!, mas é mais direto usar a identidade combinatória
kbinomk+n-1k =nbinomk+n-1n,
que se verifica por manipulação de fatoriais. Assim,
E[X] =sumk=1^inftykbinomk+n-1k12^k+n =12^nsumk=1^inftykbinomk+n-1k12^k = n2^nsumk=1^inftybinomk+n-1n12^k
Mas sabemos que E[X]=n. Logo,
n = n2^nsumk=1^inftybinomk+n-1n12^k Longrightarrow sumk=1^inftybinomk+n-1n12^k=2^n

Resposta

(a) P(X=k)=Gamma(k+x)Gamma(x),Gamma(k+1)l(tfrac12r)^k+x,;k=0,1,2,dots.
(b) sumk=1^inftybinomk+n-1ntfrac12^k=2^n.

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