(a) Demonstre que se X e Y são independentes, então
P(X<Y)=integral-infty^infty(1-FY(x)) d FX(x)
(b) Sejam X e Y independentes, X exponencial de parâmetro i e Y^prime uniforme em [0, lambda], onde lambda>0. Calcule P(X<Y^prime), P(X>Y^prime) e P(X=Y).

Passo 1

O enunciado tem duas partes.
(a) Mostrar que, para duas variáveis independentes X e Y,
P(X<Y)=integral-infty^inftyl(1-FY(x)r),dFX(x)
Isso envolve usar probabilidade condicional ou o Teorema de Fubini para esperanças.
(b) Agora X e Y' são independentes, com XsimExp(i) (taxa i) e Y'sim U[0,lambda]. Precisamos achar P(X<Y'), P(X>Y') e P(X=Y').

Passo 2

Para (a), escrevemos
P(X<Y)=El[1X<Yr] =EXl[El[1X<Ymid Xr]r] =integral-infty^inftyPl(Y>xr),dFX(x) =integral-infty^inftyl(1-FY(x)r),dFX(x)

Passo 3

Em (b), temos
FX(x)= 1-e^-i x,&x>=0, 0,&x<0, fY'(y)= 1lambda,&0<= y<=lambda, 0,&caso contrário á

Passo 4

Usando condicionamento em Y':
P(X<Y') =integral0^lambdaP(X<y),fY'(y),dy =1lambdaintegral0^lambdal(1-e^-i yr),dy =1lambdal[lambda-1-e^-ilambdair] =1-1-e^-ilambdailambda

Passo 5

Como X e Y' são contínuas, P(X=Y')=0. Logo
P(X>Y')=1-P(X<Y')=1-e^-ilambdailambda, P(X=Y')=0

Resposta

(a) Vimos no Passo 2 que
P(X<Y)=integral-infty^inftyl(1-FY(x)r),dFX(x)
(b)
P(X<Y')=1-1-e^-ilambdailambda, P(X>Y')=1-e^-ilambdailambda, P(X=Y')=0

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