Considere o teste de H_{0}: \sigma^{2}=5 \operatorname{contra} H_{1}: \sigma^{2}<5. Quais são os valores críticos para o teste estatístico X_{0}^{2} para os seguintes níveis de significância e tamanhos de amostra?
\alpha=0,05 e n=15.

Passo 1

O enunciado propõe um teste de hipótese para a variância com
H_{0}: \sigma^{2}=5 \quad\text{vs.}\quad H_{1}: \sigma^{2}<5
usando a amostra de tamanho n=15 e nível de significância \alpha=0,05. O conteúdo é o teste qui-quadrado para variância e precisaremos da distribuição \chi^{2} com n-1 graus de liberdade.

Passo 2

Sob H_{0}, a estatística de teste é
X_{0}^{2}=\frac{(n-1)\,S^{2}}{\sigma_{0}^{2}}
que segue \chi^{2}_{\,n-1}, isto é \chi^{2}_{14} para n=15.

Passo 3

Como H_{1} é da forma \sigma^{2}<5, o region de rejeição fica na cauda inferior da \chi^{2}. Rejeitamos H_{0} se
X_{0}^{2}\le \chi^{2}_{\alpha;\,n-1}\,,
onde \chi^{2}_{\alpha;\,n-1} é o quantil de probabilidade \alpha da \chi^{2} com n-1 graus de liberdade.

Passo 4

Aqui \alpha=0,05 e n-1=14. Logo precisamos de
\chi^{2}_{0,05;\,14}
que é o valor c tal que P\bigl(\chi^{2}_{14}\le c\bigr)=0,05.

Passo 5

Consultando a tabela da \chi^{2} ou software estatístico, obtemos
\chi^{2}_{0,05;\,14}\approx6,571.
Portanto o valor crítico é 6,571.

Resposta

O valor crítico para o teste é
\chi^{2}_{0,05;\,14}\approx6,571,
de modo que rejeitamos H_{0} se X_{0}^{2}\le6,571.\

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