Sejam A1, A2, ldots eventos aleatórios em um espaço de probabili- . dade ( Omega, mathscrA, P ), e definam-se
limsup n infty An & =capn=1^infty cupk=n^infty Ak liminf n infty An & =cupn=1^infty capk=n^infty Ak
(Veremos uma interpretação intuitiva desses eventos no §5.2.) Se limsup An=liminf An=A, chamamos o evento A de lim An (li n infty n infty mite de An ). Demonstre que se A=lim An, então P(An) P(A) quando n infty.

Passo 1

Resumindo, temos uma sequência de eventos Ann>=1 num espaço (Omega,mathscr A,P) e definimos
limsupntoinftyAn=capn=1^inftycupk=n^infty Ak, liminfntoinftyAn=cupn=1^inftycapk=n^infty Ak
Supondo que
limsupntoinftyAn = liminfntoinftyAn = A,
queremos provar que
limntoinftyP(An)=P(A)
O conteúdo usado será a continuidade de P para uniões crescentes e interseções decrescentes de eventos.

Passo 2

Definimos, para cada m>=1, o evento
Cm = cupk=m^infty Ak
Então Cm é uma sequência decrescente de eventos (isto é, Cm+1subset Cm) e
capm=1^infty Cm =limsupntoinftyAn
Pela continuidade de P em cadeias decrescentes de eventos com medida finita, temos
Pl(limsupntoinftyAnr) = Pl(capm=1^infty Cmr) = limmtoinftyP(Cm)
Mas como
Cm=cupk>= mAk
implica
P(Cm)>= supk>= mP(Ak),
segue
Pl(limsupntoinftyAnr) >= limmtoinftysupk>= mP(Ak) =limsupntoinftyP(An)

Passo 3

Agora definimos, para cada m>=1, o evento
Dm = capk=m^infty Ak
Neste caso Dm é uma sequência crescente de eventos ( Dmsubset Dm+1) e
cupm=1^infty Dm =liminfntoinftyAn
Pela continuidade de P em cadeias crescentes,
Pl(liminfntoinftyAnr) = Pl(cupm=1^infty Dmr) = limmtoinftyP(Dm)
Como Dmsubset Ak para todo k>= m, temos
P(Dm)<= infk>= mP(Ak)
e daí
Pl(liminfntoinftyAnr) <= limmtoinftyinfk>= mP(Ak) =liminfntoinftyP(An)

Passo 4

Pelas hipóteses,
limsupntoinftyAn=liminfntoinftyAn=A.
Combinando as desigualdades dos passos anteriores obtemos
limsupntoinftyP(An);<=;P(A);<=;liminfntoinftyP(An)
Logo limsup P(An)=liminf P(An)=P(A), o que implica
limntoinftyP(An)=P(A)

Resposta

Pelos argumentos acima, se
A=limntoinftyAn
então
limntoinftyP(An)=P(A)

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