Sejam
eventos aleatórios em um espaço de probabili- . dade (
), e definam-se
(Veremos uma interpretação intuitiva desses eventos no §5.2.) Se
, chamamos o evento
de
(li
mite de
). Demonstre que se
, então
quando
.
Passo 1
Resumindo, temos uma sequência de eventos
num espaço
e definimos
Supondo que
queremos provar que
O conteúdo usado será a continuidade de para uniões crescentes e interseções decrescentes de eventos.
O conteúdo usado será a continuidade de
Passo 2
Definimos, para cada
, o evento
Então
é uma sequência decrescente de eventos (isto é,
) e
Pela continuidade de
em cadeias decrescentes de eventos com medida finita, temos
Mas como
implica
segue
implica
segue
Passo 3
Agora definimos, para cada
, o evento
Neste caso
é uma sequência crescente de eventos (
) e
Pela continuidade de
em cadeias crescentes,
Como
para todo
, temos
e daí
e daí
Passo 4
Pelas hipóteses,
.
Combinando as desigualdades dos passos anteriores obtemos
Combinando as desigualdades dos passos anteriores obtemos
Logo
, o que implica
Resposta
Pelos argumentos acima, se
então
então