Os dados abaixo referem-se às quantidades produzidas (toneladas) e os preços médios por quilograma recebidos pelos produtores.
PRODUTOS 1976 1977 1978
P Q P Q P Q
5,00 100 6,00 100 10,00 120
B 10,00 50 15,00 60 15,00 70
C 3,50 120 5,80 130 6,60 110
D 4,10 200 6,00 250 7,00 260
E 8,00 180 10,80 200 11,50 200
Calcular:
Os índices de preço e de quantidade de Sauerbeck, com base em 1976 (base de comparação fixa).

Passo 1

O enunciado fornece preços P e quantidades Q de cinco produtos nos anos de 1976 (ano-base), 1977 e 1978, e pede os índices de preço e de quantidade de Sauerbeck com base fixa em 1976. O índice de Sauerbeck é simplesmente a média aritmética dos relativos P_{t}/P_{0} (para preços) e Q_{t}/Q_{0} (para quantidades), sem peso.

Passo 2

Calcular os relativos de preço \tfrac{P_{t}}{P_{0}}:
Para 1977:
\frac{P_{A,77}}{P_{A,76}}=\frac{6{,}00}{5{,}00}=1{,}20,\quad \frac{P_{B,77}}{P_{B,76}}=\frac{15{,}00}{10{,}00}=1{,}50,\quad \frac{P_{C,77}}{P_{C,76}}=\frac{5{,}80}{3{,}50}\approx1{,}6571,
\frac{P_{D,77}}{P_{D,76}}=\frac{6{,}00}{4{,}10}\approx1{,}4634,\quad \frac{P_{E,77}}{P_{E,76}}=\frac{10{,}80}{8{,}00}=1{,}35.
Para 1978:
\frac{P_{A,78}}{P_{A,76}}=\frac{10{,}00}{5{,}00}=2{,}00,\quad \frac{P_{B,78}}{P_{B,76}}=\frac{15{,}00}{10{,}00}=1{,}50,\quad \frac{P_{C,78}}{P_{C,76}}=\frac{6{,}60}{3{,}50}\approx1{,}8857,
\frac{P_{D,78}}{P_{D,76}}=\frac{7{,}00}{4{,}10}\approx1{,}7073,\quad \frac{P_{E,78}}{P_{E,76}}=\frac{11{,}50}{8{,}00}=1{,}4375.

Passo 3

Calcular o índice de preço de Sauerbeck como média aritmética simples dos relativos:
I_{P,77} =\frac{1}{5}\bigl(1{,}20+1{,}50+1{,}6571+1{,}4634+1{,}35\bigr) \approx1{,}4341,
I_{P,78} =\frac{1}{5}\bigl(2{,}00+1{,}50+1{,}8857+1{,}7073+1{,}4375\bigr) \approx1{,}7061.

Passo 4

Calcular os relativos de quantidade \tfrac{Q_{t}}{Q_{0}}:
Para 1977:
\frac{Q_{A,77}}{Q_{A,76}}=\frac{100}{100}=1{,}00,\quad \frac{Q_{B,77}}{Q_{B,76}}=\frac{60}{50}=1{,}20,\quad \frac{Q_{C,77}}{Q_{C,76}}=\frac{130}{120}\approx1{,}0833,
\frac{Q_{D,77}}{Q_{D,76}}=\frac{250}{200}=1{,}25,\quad \frac{Q_{E,77}}{Q_{E,76}}=\frac{200}{180}\approx1{,}1111.
Para 1978:
\frac{Q_{A,78}}{Q_{A,76}}=\frac{120}{100}=1{,}20,\quad \frac{Q_{B,78}}{Q_{B,76}}=\frac{70}{50}=1{,}40,\quad \frac{Q_{C,78}}{Q_{C,76}}=\frac{110}{120}\approx0{,}9167,
\frac{Q_{D,78}}{Q_{D,76}}=\frac{260}{200}=1{,}30,\quad \frac{Q_{E,78}}{Q_{E,76}}=\frac{200}{180}\approx1{,}1111.

Passo 5

Calcular o índice de quantidade de Sauerbeck:
I_{Q,77} =\frac{1}{5}\bigl(1{,}00+1{,}20+1{,}0833+1{,}25+1{,}1111\bigr) \approx1{,}1289,
I_{Q,78} =\frac{1}{5}\bigl(1{,}20+1{,}40+0{,}9167+1{,}30+1{,}1111\bigr) \approx1{,}1856.

Resposta

I_{P,1977}=1{,}4341 (143,41 %) I_{P,1978}=1{,}7061 (170,61 %) I_{Q,1977}=1{,}1289 (112,89 %) I_{Q,1978}=1{,}1856 (118,56 %)

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