Dados os sete pares de valores experimentais abaixo ( x_{i}, y_{i} ), estabelecer a regressão linear y=a+b x, calculando os coeficientes a e b pelo método dos mínimos quadrados, supondo os valores x_{i} isentos de erro.
x_{i} & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 \
\hline y_{i} & 1 & 2 & 6 & 9 & 11 & 14 & 20

Passo 1

O enunciado nos dá sete pares (x_i,y_i) e pede a reta de regressão linear y=a+bx pelos mínimos quadrados, assumindo que os x_i são exatos. Para isso vamos precisar dos somatórios \sum x_i, \sum y_i, \sum x_i y_i, \sum x_i^2 e do número de pontos n.

Passo 2

Calculamos primeiramente os somatórios e n: n=7, \sum x_i=0+2+4+6+8+10+12=42, \sum y_i=1+2+6+9+11+14+20=63, \sum x_i y_i=550 e \sum x_i^2=364.

Passo 3

O coeficiente angular b é dado por
b = \frac{n\sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}.
Substituindo os valores:
b = \frac{7\cdot550 - 42\cdot63}{7\cdot364 - 42^2} = \frac{3850 - 2646}{2548 - 1764} = \frac{1204}{784} = \frac{43}{28} \approx 1,5357.

Passo 4

O coeficiente linear a é dado por a = \bar y - b\,\bar x, onde \bar x=\tfrac{\sum x_i}{n} e \bar y=\tfrac{\sum y_i}{n}. Assim,
\bar x = \frac{42}{7}=6,\quad \bar y = \frac{63}{7}=9,
a = 9 - \frac{43}{28}\times6 = 9 - \frac{258}{28} = -\frac{6}{28} = -\frac{3}{14} \approx -0,2143.

Passo 5

Portanto, a reta de regressão dos mínimos quadrados é
y = -\frac{3}{14} + \frac{43}{28}\,x.

Resposta

a = -\tfrac{3}{14},\quad b = \tfrac{43}{28}.

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