A densidade conjunta de X\) e \(Y\) é dada por: \[f_{X, Y}(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{4}, & \text { se }-2 \leq x<0,0 \leq y \leq 1 \\\ \frac{1}{4}, & \text { se } 0 \leq x \leq 1,-2 \leq y<0 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
a. Calcule as marginais e verifique se X\] e \(Y são independentes.
b. Determine a função de distribuição conjunta entre X e Y.
c. Obtenha a função de distribuição condicional de Y dado X=x.

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} \dfrac{1}{4},&-2\le x<0,\;0\le y\le1,\\[6pt] \dfrac{1}{4},&0\le x\le1,\;-2\le y<0,\\[3pt] 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
pede (a) as marginais e verificação de independência, (b) a função de distribuição conjunta F(x,y)=P(X\le x,Y\le y) e (c) a densidade condicional f_{Y\mid X}(y\mid x)=f_{X,Y}(x,y)/f_X(x). Vamos usar integração sobre as variáveis apropriadas para (a), a definição de CDF para (b) e a relação f_{Y\mid X}(y\mid x)=f_{X,Y}(x,y)/f_X(x) para (c).]

Passo 2

Calcular
f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dy.
Para -2\le x<0 integra-se y de 0 a 1:
f_X(x)=\int_{0}^{1}\frac14\,dy=\frac14\cdot1=\frac14.
Para 0\le x\le1 integra-se y de -2 a 0:
f_X(x)=\int_{-2}^{0}\frac14\,dy=\frac14\cdot2=\frac12.
Fora dessas faixas f_X(x)=0.

Passo 3

Calcular
f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dx.
Para 0\le y\le1 integra-se x de -2 a 0:
f_Y(y)=\int_{-2}^{0}\frac14\,dx=\frac14\cdot2=\frac12.
Para -2\le y<0 integra-se x de 0 a 1:
f_Y(y)=\int_{0}^{1}\frac14\,dx=\frac14\cdot1=\frac14.
Fora dessas faixas f_Y(y)=0.

Passo 4

Verificação de independência: se fossem independentes teríamos f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y). Por exemplo, para -2\le x<0 e 0\le y\le1 temos
f_X(x)\,f_Y(y)=\frac14\cdot\frac12=\frac18\neq f_{X,Y}(x,y)=\frac14.
Logo X e Y não são independentes.

Passo 5

Encontrar
F(x,y)=P(X\le x,\;Y\le y)
por definição, integrando f_{X,Y} na região \{u\le x,\;v\le y\}. O resultado é piecewise em função de x e y. Resumidamente:
1. Se x< -2 ou y< -2, então F(x,y)=0.
2. Se -2\le x<0 e 0\le y<1, só contribui o retângulo de densidade 1/4 com u de -2 a x e v de 0 a y:
F(x,y)=\int_{u=-2}^{x}\int_{v=0}^{y}\frac14\,dv\,du =\frac{(x+2)\,y}{4}.
3. Se -2\le x<0 e y\ge1, o retângulo está todo incluso:
F(x,y)=\int_{-2}^{x}\int_{0}^{1}\frac14\,dv\,du =\frac{(x+2)\,1}{4}=\frac{x+2}{4}.
4. Se 0\le x\le1 e -2\le y<0, só contribui o outro retângulo, com u de 0 a x e v de -2 a y:
F(x,y)=\int_{0}^{x}\int_{-2}^{y}\frac14\,dv\,du =\frac{x\,(y+2)}{4}.
5. Se 0\le x\le1 e 0\le y<1, entram as duas regiões: a de y\ge0 (região A) toda para u\in[-2,0] mais parte da região B até u=x. Isso dá
F(x,y) =\underbrace{\int_{-2}^{0}\int_{0}^{1}\frac14}_{=\tfrac12} +\underbrace{\int_{0}^{x}\int_{-2}^{0}\frac14}_{=\tfrac{x}{2}} =\frac12+\frac{x}{2}.
6. Se 0\le x\le1 e y\ge1, a região A está toda incluída e da B só até u=x, então também
F(x,y)=\frac12+\frac{x}{2}.
7. Se x>1 e -2\le y<0, a A não contribui (pois Y\ge0 lá) e a B está toda em u\in[0,1], mas só até v=y:
F(x,y)=\int_{0}^{1}\int_{-2}^{y}\frac14 =\frac{y+2}{4}.
8. Se x>1 e y\ge0, ambas as regiões A e B estão inteiramente incluídas, logo F(x,y)=1.

Passo 6

A densidade condicional é
f_{Y\mid X}(y\mid x) =\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}.
Para -2\le x<0 temos f_X(x)=1/4 e f_{X,Y}(x,y)=1/4 em 0\le y\le1, logo
f_{Y\mid X}(y\mid x) =\frac{\tfrac14}{\tfrac14}=1,\quad 0\le y\le1,
isto é, uniforme em [0,1].
Para 0\le x\le1 temos f_X(x)=1/2 e f_{X,Y}(x,y)=1/4 em -2\le y<0, logo
f_{Y\mid X}(y\mid x) =\frac{\tfrac14}{\tfrac12}=\frac12,\quad -2\le y<0,
isto é, uniforme em [-2,0].

Resposta

(a)
f_X(x)= \begin{cases} \frac{1}{4},&-2\le x<0,\\\ \frac{1}{2},&0\le x\le1,\\\\ 0,&\text{c.c.}, \end{cases} \qquad f_Y(y)= \begin{cases} \frac{1}{2},&0\le y\le1,\\\ \frac{1}{4},&-2\le y<0,\\\\ 0,&\text{c.c.} \end{cases}
Não são independentes.
(b)
F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)= \begin{cases} 0,&x< -2\text{ ou }y< -2,\\[3pt] \dfrac{(x+2)\,y}{4},&-2\le x<0,\;0\le y<1,\\[6pt] \dfrac{x+2}{4},&-2\le x<0,\;y\ge1,\\[6pt] \dfrac{x\,(y+2)}{4},&0\le x\le1,\;-2\le y<0,\\[6pt] \dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{2},&0\le x\le1,\;y\ge0,\\[6pt] \dfrac{y+2}{4},&x>1,\;-2\le y<0,\\[6pt] 1,&x>1,\;y\ge0. \end{cases}
(c)
f_{Y\mid X}(y\mid x)= \begin{cases} 1,&-2\le x<0,\;0\le y\le1,\\\ \tfrac{1}{2},&0\le x\le1,\;-2\le y<0,\\\\ 0,&\text{c.c.} \end{cases}]

Exercícios de Livros Relacionados