Sejam
e
com densidade conjunta:
a. Calcule as marginais e verifique se
e
são independentes.
b. Determine a densidade condicional de
dado que
.
b. Determine a densidade condicional de
Passo 1
O enunciado diz que
é uniforme no disco unitário
com densidade conjunta
Vamos calcular as marginais
e
, verificar independência e, em seguida, usar a definição
para obter a densidade condicional de
dado
.
Passo 2
Para a marginal de
integramos em
:
válido para
, e
caso contrário.
Passo 3
Analogamente, para a marginal de
integramos em
:
válido para
, e
fora desse intervalo.
Passo 4
Verificamos independência comparando
com
Como não coincidem (nem ao menos têm o mesmo suporte em
),
e
não são independentes.
Passo 5
Para a densidade condicional usamos
Em particular, para
isto vira
Resposta
As marginais são
A densidade condicional de
zero fora desse intervalo.