Sejam X e Y com densidade conjunta:
f_{X, Y}(x, y)=\frac{1}{\pi} I_{A}(x, y) \operatorname{com} A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R} ; x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}
a. Calcule as marginais e verifique se X e Y são independentes.
b. Determine a densidade condicional de X dado que Y=1 / 2.

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y) é uniforme no disco unitário
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le1\}
com densidade conjunta
f_{X,Y}(x,y)=\frac1\pi\,I_A(x,y).
Vamos calcular as marginais f_X e f_Y, verificar independência e, em seguida, usar a definição
f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}
para obter a densidade condicional de X dado Y=1/2.

Passo 2

Para a marginal de X integramos em y:
f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dy =\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac1\pi\,dy =\frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi},
válido para \lvert x\rvert\le1, e f_X(x)=0 caso contrário.

Passo 3

Analogamente, para a marginal de Y integramos em x:
f_Y(y) =\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\frac1\pi\,dx =\frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi},
válido para \lvert y\rvert\le1, e f_Y(y)=0 fora desse intervalo.

Passo 4

Verificamos independência comparando
f_X(x)\,f_Y(y) =\frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}\cdot\frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi} =\frac{4\sqrt{1-x^2}\,\sqrt{1-y^2}}{\pi^2}
com
f_{X,Y}(x,y)=\frac1\pi\,I_{x^2+y^2\le1}.
Como não coincidem (nem ao menos têm o mesmo suporte em \mathbb{R}^2), X e Y não são independentes.

Passo 5

Para a densidade condicional usamos
f_{X\mid Y}(x\mid y) =\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} =\frac{\tfrac1\pi\,I_{x^2+y^2\le1}}{\tfrac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi}} =\frac{1}{2\sqrt{1-y^2}}\,I_{x^2+y^2\le1}.
Em particular, para y=\tfrac12 isto vira
f_{X\mid Y=\tfrac12}(x) =\frac{1}{2\sqrt{1-(1/2)^2}}\,I_{x^2+(\tfrac12)^2\le1} =\frac{1}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}\,I_{|x|\le\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{1}{\sqrt3}\,I_{|x|\le\frac{\sqrt3}{2}}.

Resposta

As marginais são
f_X(x)=\frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi},\quad |x|\le1, \qquad f_Y(y)=\frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi},\quad |y|\le1.
X e Y não são independentes.
A densidade condicional de X dado Y=\tfrac12 é
f_{X\mid Y=\tfrac12}(x) =\frac{1}{\sqrt3}\quad\text{para }|x|\le\frac{\sqrt3}{2},
zero fora desse intervalo.

Exercícios de Livros Relacionados