Determine o número de divisores inteiros e positivos de:
1.540 .

Passo 1

O enunciado pede o número de divisores inteiros e positivos de 1540. O conteúdo envolvido é teoria dos números, mais especificamente fatoração em primos e a fórmula que relaciona expoentes na fatoração com o número de divisores.

Passo 2

Vamos fatorar 1540 em primos. Observamos que
1540 = 10 \times 154
e
10 = 2 \times 5,\quad 154 = 2 \times 77,\quad 77 = 7 \times 11.
Logo,
1540 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11.

Passo 3

Seja um número genérico
n = p_{1}^{a_1}\,p_{2}^{a_2}\cdots p_{k}^{a_k},
onde p_i são primos e a_i seus expoentes. O número de divisores positivos de n é dado por
d(n) = (a_1 + 1)\,(a_2 + 1)\cdots(a_k + 1).

Passo 4

No nosso caso, temos a fatoração
1540 = 2^2\cdot5^1\cdot7^1\cdot11^1,
portanto os expoentes são 2, 1, 1 e 1. Assim,
d(1540) = (2+1)\,(1+1)\,(1+1)\,(1+1) = 3 \times 2 \times 2 \times 2 = 24.

Resposta

24

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