Determine o valor de n se:
\frac{C_{6}^{n}}{C_{5}^{n-1}}=1.

Passo 1

O enunciado pede para achar o inteiro n tal que
\frac{C_{6}^{n}}{C_{5}^{\,n-1}} = 1.
Aqui o conteúdo é combinação, onde
C_{a}^{b} = \frac{a!}{b!\,(a-b)!}.

Passo 2

Escrevemos cada combinação em termos de fatoriais:
C_{6}^{n} = \frac{6!}{n!\,(6-n)!}, \quad C_{5}^{\,n-1} = \frac{5!}{(n-1)!\,(5-(n-1))!} = \frac{5!}{(n-1)!\,(6-n)!}.

Passo 3

Substituímos na razão e simplificamos:
\frac{C_{6}^{n}}{C_{5}^{\,n-1}} = \frac{\displaystyle\frac{6!}{n!\,(6-n)!}}{\displaystyle\frac{5!}{(n-1)!\,(6-n)!}} = \frac{6!}{n!\,(6-n)!}\,\cdot\frac{(n-1)!\,(6-n)!}{5!} = \frac{6!}{5!}\,\cdot\frac{(n-1)!}{n!}.

Passo 4

Como \tfrac{6!}{5!}=6 e \tfrac{(n-1)!}{n!}=\tfrac{1}{n}, a expressão vira
6 \cdot \frac{1}{n} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{6}{n} = 1 \quad\Longrightarrow\quad n = 6.

Passo 5

Verificamos que n deve ser inteiro e satisfazer 1\le n\le6. A solução n=6 está nesse intervalo e de fato
\frac{C_{6}^{6}}{C_{5}^{5}} = \frac{1}{1} = 1.

Resposta

n = 6

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