Determine o valor de n se:
P_{n}=12 C_{n}^{2};

Passo 1

O enunciado pede para determinar o inteiro n que satisfaz
P_{n} = 12\,C_{n}^{2}.
Aqui usamos que P_{n} (permutação de n elementos) é dado por
P_{n}=n!
e que o coeficiente binomial
\;C_{n}^{2}=\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.

Passo 2

Substituindo as definições na equação P_{n}=12\,C_{n}^{2}, temos
n! \;=\;12\;\cdot\;\frac{n(n-1)}{2} \;\Longrightarrow\; n! = 6\,n(n-1).

Passo 3

Para n\ge2, podemos escrever n!=n(n-1)(n-2)!. Assim,
n(n-1)(n-2)! = 6\,n(n-1) \;\Longrightarrow\; (n-2)! = 6.

Passo 4

A única solução inteira de
(n-2)! = 6
é
(n-2)! = 3! = 6 \;\Longrightarrow\; n-2 = 3 \;\Longrightarrow\; n = 5.

Passo 5

Verificação rápida:
P_{5}=5!=120 e
C_{5}^{2}=\binom{5}{2}=10,
logo 12\cdot10=120. Está coerente.

Resposta

n=5

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