Determine o número de divisores inteiros e positivos de:
17.640 ;

Passo 1

O enunciado pede: Determine o número de divisores inteiros e positivos de 17.640.
Conteúdo principal: fatoração em números primos e aplicação da fórmula do número de divisores de um inteiro.

Passo 2

Vamos fatorar 17.640. Primeiro, note que
17.640 = 17640 = 1764 \times 10.
Em seguida, reconhecemos que
1764 = 42^2
e
10 = 2 \times 5.

Passo 3

Agora fatoramos cada parte em primos:
42 = 2 \times 3 \times 7
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42^2 = 2^2 \times 3^2 \times 7^2.
Multiplicando pelo 2 e pelo 5 de 10, obtemos a fatoração completa:
17640 = 2^2\cdot 3^2\cdot 7^2 \;\times\; 2\cdot 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^2.

Passo 4

Para um número
n = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}}\cdots p_{k}^{a_{k}},
o número de divisores positivos é
(a_{1}+1)\,(a_{2}+1)\cdots(a_{k}+1).

Passo 5

No nosso caso, n=17.640 tem
a_{1}=3,\;a_{2}=2,\;a_{3}=1,\;a_{4}=2
para os primos 2,3,5,7. Logo
\bigl(3+1\bigr)\times\bigl(2+1\bigr)\times\bigl(1+1\bigr)\times\bigl(2+1\bigr) =4\times3\times2\times3=72.

Resposta

O número de divisores inteiros e positivos de 17.640 é 72.

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