Determine p para que C10^p seja máximo.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de p que maximiza o coeficiente binomial binom10p.
Conteúdo: combinatória, em particular coeficientes binomiais e suas propriedades de simetria e crescimento até o ponto médio.

Passo 2

Lembramos que o coeficiente binomial é definido por
binom10p = 10!p!(10-p)!
e que vale a simetria
binom10p = binom1010-p
Além disso, para 0<= p<10, os valores de binom10p crescem enquanto p vai de 0 até a metade de 10, e depois decrescem por causa da simetria.

Passo 3

Para ver rigorosamente onde cresce e onde decresce, consideramos a razão entre termos consecutivos:
binom10p+1binom10p = 10!(p+1)!(9-p)!10!p!(10-p)! = p!(10-p)!(p+1)!(9-p)! = 10-pp+1

Passo 4

Analisamos o sinal de 10-pp+1:
– Se 10-pp+1>1, então binom10p+1>binom10p e a sequência cresce.
– Se 10-pp+1<1, então a sequência decresce.
Resolvendo
10-pp+1>1 Long<=ftrightarrow 10 - p > p + 1 Long<=ftrightarrow 2p < 9 Long<=ftrightarrow p < 4,5
Logo a sequência cresce enquanto p<=4 e a partir de p>=5 começa a decrescer. Como p é inteiro, o valor máximo ocorre em p=5.

Resposta

p = 5

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