Determine
para que
seja máximo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor de
que maximiza o coeficiente binomial
.
Conteúdo: combinatória, em particular coeficientes binomiais e suas propriedades de simetria e crescimento até o ponto médio.
Conteúdo: combinatória, em particular coeficientes binomiais e suas propriedades de simetria e crescimento até o ponto médio.
Passo 2
Lembramos que o coeficiente binomial é definido por
e que vale a simetria
Além disso, para
, os valores de
crescem enquanto
vai de
até a metade de
, e depois decrescem por causa da simetria.
Passo 3
Para ver rigorosamente onde cresce e onde decresce, consideramos a razão entre termos consecutivos:
Passo 4
Analisamos o sinal de
:
– Se , então
e a sequência cresce.
– Se , então a sequência decresce.
– Se
– Se
Resolvendo
Logo a sequência cresce enquanto
e a partir de
começa a decrescer. Como
é inteiro, o valor máximo ocorre em
.