Calcule o valor de sumk=0^n Cn^kk+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
sumk=0^n Cn^kk+1.
O conteúdo principal é manipulação de somas de coeficientes binomiais, usando identidades combinatórias para reescrever cada termo.

Passo 2

Usamos a identidade
Cn+1^k+1 = (n+1)!(k+1)!,(n-k)! = n+1k+1;Cn^k
Dessa forma,
Cn^kk+1 = 1n+1;Cn+1^k+1

Passo 3

Substituindo na soma original, obtemos
sumk=0^n Cn^kk+1 = 1n+1sumk=0^n Cn+1^k+1 = 1n+1sumj=1^n+1 Cn+1^j,
onde fizemos a troca j=k+1.

Passo 4

Sabemos que sumj=0^n+1 Cn+1^j = 2^n+1. Portanto,
sumj=1^n+1 Cn+1^j = 2^n+1 - Cn+1^0 = 2^n+1 - 1

Passo 5

Reunindo tudo, concluímos que
sumk=0^n Cn^kk+1 = 1n+1;l(2^n+1-1r) = 2^n+1-1n+1

Resposta

2^n+1-1n+1

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