Resolva a equação C15-p^2 p=C15-p^9-p.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação que envolve coeficientes binomiais:
binom15-p2p ;=;binom15-p9-p
O conteúdo principal aqui é combinatória, em particular a propriedade de simetria dos binomiais
binomNk = binomNN-k.

Passo 2

Seja N = 15 - p, k1 = 2p e k2 = 9 - p. A identidade
binomNk1=binomNk2 ocorre em dois casos:
  1. k1 = k2.
    2p = 9 - p Longrightarrow 3p = 9 Longrightarrow p = 3
  2. k1 = N - k2.
    2p = (15-p) - (9-p) = 6 Longrightarrow p = 3
Em ambos os casos obtemos p = 3.

Passo 3

Precisamos ainda garantir que as combinações estão bem definidas, ou seja
0 <= 2p <= 15-p e 0 <= 9-p <= 15-p,
o que implica p>=0 e 3p<=15, logo 0<= p<=5. Dessas possibilidades, a única solução é p=3.

Resposta

p = 3

Exercícios de Livros Relacionados