Diga se as seguintes funções podem ser funções de distribuição (f.d.) de alguma variável aleatória. Se alguma for f.d. diga qual a v.a. associada.
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Passo 1
O enunciado apresenta três candidatas a função de distribuição (f.d.)
e pede para verificar, em cada caso, se elas satisfazem as propriedades de uma f.d. de variável aleatória:
-
, . -
é não decrescente. -
é contínua pela direita.
Só as que atenderem a essas três condições podem ser f.d. Se for f.d., identificar a variável aleatória (no caso discreta, pelos saltos de).
Passo 2
Analisando a primeira função, digamos
Note que em
para
. Isso viola a condição de não decrescer.
Logo,
não pode ser função de distribuição.
Passo 3
Analisando a segunda função,
Embora seja não decrescente e tenha limites corretos, ela não é contínua à direita nos pontos de salto
mas
.
Logo,
também não é função de distribuição.
Passo 4
Analisando a terceira função,
- Limites: .
- Não decrescente:
. - Contínua à direita: em cada ponto
, .
Portanto
é válida como f.d. de uma v.a. discreta
. Os valores de
e suas probabilidades vêm dos saltos de
:
Resposta
Apenas a terceira função é função de distribuição. A v.a. discreta associada
tem
As duas primeiras não são f.d. porque, respectivamente, violam a monotonicidade e a continuidade à direita.