Diga se as seguintes funções podem ser funções de distribuição (f.d.) de alguma variável aleatória. Se alguma for f.d. diga qual a v.a. associada.
\mathrm{F}(\mathrm{x})=0 x<-2 \mathrm{F}(\mathrm{x})=0 x \leq 2
1/4 -2 \leq x<2 1/4 2<x \leq 3
1/5 2 \leq x<3 1/3 3<x \leq 4
1/2 3 \leq x<5 1/2 4<\mathrm{x} \leq 5
1 5 \leq \mathrm{x} 1 5<\mathrm{x}
\mathbf{F}(\mathbf{x})=0 \mathrm{x}<-2
1/4 -2 \leq x<2
1/3 2 \leq x<3
1/2 3 \leq x<4
1 4 \leq \mathrm{x}

Passo 1

O enunciado apresenta três candidatas a função de distribuição (f.d.) F(x) e pede para verificar, em cada caso, se elas satisfazem as propriedades de uma f.d. de variável aleatória:
  1. \displaystyle\lim_{x\to -\infty}F(x)=0, \displaystyle\lim_{x\to +\infty}F(x)=1.
  2. F é não decrescente.
  3. F é contínua pela direita.
    Só as que atenderem a essas três condições podem ser f.d. Se for f.d., identificar a variável aleatória (no caso discreta, pelos saltos de F).

Passo 2

Analisando a primeira função, digamos F_1(x)\): \[F_1(x)= \begin{cases} 0, & x<-2,\\\ \dfrac14, & -2\le x<2,\\\ \dfrac15, & 2\le x<3,\\\ \dfrac12, & 3\le x<5,\\\\ 1, & x\ge5. \end{cases}
Note que em x=2\] há queda de \(\tfrac14 para \tfrac15. Isso viola a condição de não decrescer.
Logo, F_1 não pode ser função de distribuição.

Passo 3

Analisando a segunda função, F_2(x)\): \[F_2(x)= \begin{cases} 0, & x\le2,\\\ \dfrac14, & 2<x\le3,\\\ \dfrac13, & 3<x\le4,\\\ \dfrac12, & 4<x\le5,\\\\ 1, & x>5. \end{cases}
Embora seja não decrescente e tenha limites corretos, ela não é contínua à direita nos pontos de salto x=2,3,4,5\] porque, por exemplo, \(F_2(2)=0 mas \lim_{x\to2^+}F_2(x)=\tfrac14\neq F_2(2).
Logo, F_2 também não é função de distribuição.

Passo 4

Analisando a terceira função, F_3(x)\): \[F_3(x)= \begin{cases} 0, & x<-2,\\\ \dfrac14, & -2\le x<2,\\\ \dfrac13, & 2\le x<3,\\\ \dfrac12, & 3\le x<4,\\\\ 1, & x\ge4. \end{cases}
  1. Limites: \lim_{x\to-\infty}F_3(x)=0\], \(\lim_{x\to+\infty}F_3(x)=1.
  2. Não decrescente: 0\to\tfrac14\to\tfrac13\to\tfrac12\to1.
  3. Contínua à direita: em cada ponto x_0, F_3(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}F_3(x).
Portanto F_3 é válida como f.d. de uma v.a. discreta X. Os valores de X e suas probabilidades vêm dos saltos de F_3:
P(X=-2)=\Delta F_3(-2)=\tfrac14-0=\tfrac14,
P(X=2)=\Delta F_3(2)=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{1}{12},
P(X=3)=\Delta F_3(3)=\tfrac12-\tfrac13=\tfrac16,
P(X=4)=\Delta F_3(4)=1-\tfrac12=\tfrac12.

Resposta

Apenas a terceira função é função de distribuição. A v.a. discreta associada X tem
P(X=-2)=\tfrac14,\quad P(X=2)=\tfrac{1}{12},\quad P(X=3)=\tfrac16,\quad P(X=4)=\tfrac12.
As duas primeiras não são f.d. porque, respectivamente, violam a monotonicidade e a continuidade à direita.

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