Encontrar a seqüência gerada pelas funções geradoras ordinárias dadas abaixo:
(k) \left(e^{x}+e^{-x}\right) / 2

Passo 1

O enunciado pede a sequência (a_n)_{n\ge0} cuja função geradora ordinária é
G(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},
ou seja, queremos encontrar a_n tal que
G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n.

Passo 2

Expandimos cada exponencial em série de potências:
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \qquad e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,x^n}{n!}.

Passo 3

Somando e dividindo por 2, obtemos
\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} =\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} +\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,x^n}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1+(-1)^n}{2\,n!}\;x^n.
Logo o coeficiente de x^n é
a_n=\frac{1+(-1)^n}{2\,n!}.

Passo 4

Observando \tfrac{1+(-1)^n}{2}\), vemos que vale \(1\) para \(n\) par e \(0\) para \(n\) ímpar. Portanto \[a_n= \begin{cases} \dfrac{1}{n!},&\text{se \(n é par},\[6pt] 0,&se n é ímpar. \end{cases}]]

Resposta

a_n=\frac{1+(-1)^n}{2\,n!} \quad\Longleftrightarrow\quad a_n= \begin{cases} \dfrac{1}{n!},&n\text{ par},\\[4pt] 0,&n\text{ ímpar}. \end{cases}í]

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