Em uma escola, x professores se distribuem em 8 bancas examinadoras de modo que cada professor participa de exatamente duas bancas e cada duas bancas têm exatamente um professor em comum.
a) Calcule x;
b) Determine quantos professores há em cada banca.

Passo 1

O enunciado diz que há x professores distribuídos em 8 bancas, cada professor participa de exatamente duas bancas, e cada par de bancas tem exatamente um professor em comum. Vamos usar contagem de interseções e o princípio da dupla contagem de pares (banca, professor) para achar x e o número de professores por banca.

Passo 2

Escolha uma banca qualquer, digamos B. Ela deve intersectar cada uma das outras 7 bancas em um professor distinto. Não pode ser o mesmo professor em duas dessas interseções, pois isso o colocaria em 3 bancas, violando a condição de “exatamente duas”. Logo, cada banca contém exatamente 7 professores.

Passo 3

O total de participações de professores em bancas é
8 cdot 7 = 56
Como cada professor participa de 2 bancas, esse total também é 2x. Assim,
2x = 56
x = 28

Resposta

a) 28
b) 7

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