Em uma escola,
professores se distribuem em 8 bancas examinadoras de modo que cada professor participa de exatamente duas bancas e cada duas bancas têm exatamente um professor em comum.
a) Calcule
;
b) Determine quantos professores há em cada banca.
a) Calcule
b) Determine quantos professores há em cada banca.
Passo 1
O enunciado diz que há
professores distribuídos em 8 bancas, cada professor participa de exatamente duas bancas, e cada par de bancas tem exatamente um professor em comum. Vamos usar contagem de interseções e o princípio da dupla contagem de pares (banca, professor) para achar
e o número de professores por banca.
Passo 2
Escolha uma banca qualquer, digamos
. Ela deve intersectar cada uma das outras 7 bancas em um professor distinto. Não pode ser o mesmo professor em duas dessas interseções, pois isso o colocaria em 3 bancas, violando a condição de “exatamente duas”. Logo, cada banca contém exatamente 7 professores.
Passo 3
O total de participações de professores em bancas é
Como cada professor participa de 2 bancas, esse total também é
. Assim,
Resposta
a)
b)
b)