O governo de um certo estado do Brasil decidiu adotar um critério para a distribuição de verbas ligadas à área de Ensino Básico entre os seus municípios. Em cada município são sorteadas 25 escolas de 1º grau para serem inspecionadas com relação a diversos aspectos que procuram medir a qualidade da sua administração (bom uso dos recursos disponíveis, assiduidade e pontualidade dos professores, nível do ensino etc.):
  • se o número de escolas consideradas aprovadas nessa inspeção for pelo menos igual a 20, o município recebe uma dotação alta;
  • se o número de escolas consideradas aprovadas nessa inspeção estiver entre 14 e 19 (incluindo os extremos do intervalo), o município recebe uma dotação média;
  • se o número de escolas consideradas aprovadas nessa inspeção for no máximo igual a 13, o município recebe uma dotação baixa;
    Qual a probabilidade de que um município no qual 65 \% das escolas são bem-administradas:
    a) receba uma dotação alta?
    b) receba uma dotação média?
    c) receba uma dotação baixa?

Passo 1

O enunciado sorteia n=25 escolas em cada município e conta quantas são aprovadas. Como em cada município a proporção real de escolas bem-administradas é p=0,65, o número X de escolas aprovadas na amostra segue uma distribuição binomial com parâmetros n=25 e p=0,65. O critério de dotação é
alto se X\ge20,
médio se 14 \le X \le 19,
baixo se X\le13.

Passo 2

Definimos
X \sim \mathrm{Bin}(n=25,\;p=0,65),
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P(X=k)=\binom{25}{k}(0,65)^k(0,35)^{25-k},\quad k=0,1,\dots,25.

Passo 3

Para a dotação alta calculamos
P(X\ge20)=\sum_{k=20}^{25}\binom{25}{k}(0,65)^k(0,35)^{25-k}.
Usando tabela ou software obtemos numericamente
P(X\ge20)\approx0,087.

Passo 4

Para a dotação média calculamos
P(14\le X\le19)=\sum_{k=14}^{19}\binom{25}{k}(0,65)^k(0,35)^{25-k}\approx0,788.

Passo 5

Para a dotação baixa há duas formas: soma direta ou complemento. Pelo complemento,
P(X\le13)=1 - P(X\ge14) =1 - \sum_{k=14}^{25}\binom{25}{k}(0,65)^k(0,35)^{25-k} \approx0,125.

Resposta

a) 0,087
b) 0,788
c) 0,125

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