Um taxista costuma arrecadar, por dia de trabalho, um valor cuja média é de R$150,00 e cujo desvio padrão é de R$ 100,00. Esse valor corresponde à soma do que ele recebe em todas as corridas daquele dia, já descontados os seus gastos com combustível. Tanto a licença (a chamada autonomia) como o carro que ele usa pertencem a uma outra pessoa, que arca com todas as demais despesas necessárias a essa atividade (manutenção do veículo, licenciamento etc.). Essa pessoa cobra do taxista uma quantia fixa de R$2.500,00 por mês, pelo uso do carro e da licença. Se o taxista roda durante 25 dias por mês, qual a probabilidade de que em um certo mês ele terá uma receita líquida de pelo menos \mathrm{R} \1.500,00$ ?

Passo 1

O enunciado diz que, em cada dia de trabalho, o taxista tem uma receita líquida X com média \mu_X = 150 e desvio padrão \sigma_X = 100. Ele trabalha n=25 dias no mês e paga uma taxa fixa de R$ 2500,00 ao fim do mês. Queremos a probabilidade de que a receita líquida mensal seja pelo menos R$ 1500,00. O conteúdo envolvido é soma de variáveis independentes e aproximação pela distribuição normal (Teorema Central do Limite).

Passo 2

Definimos a soma das receitas diárias no mês como
S = \sum_{i=1}^{25} X_i,
onde X_1,\dots,X_{25} são independentes, cada uma com média \mu_X e variância \sigma_X^2. Logo,
\mathbb{E}(S) = 25\,\mu_X = 25\cdot150 = 3750,
\mathrm{Var}(S) = 25\,\sigma_X^2 = 25\cdot100^2 = 250000,
e o desvio padrão de S é
\sigma_S = \sqrt{250000} = 500.

Passo 3

A receita líquida mensal após pagar a taxa é
L = S - 2500.
Queremos
P\bigl(L \ge 1500\bigr) \;\Longleftrightarrow\; P\bigl(S - 2500 \ge 1500\bigr) \;\Longleftrightarrow\; P\bigl(S \ge 4000\bigr).

Passo 4

Aproximamos S por uma normal N(3750,500^2). Padronizando:
Z = \frac{S - 3750}{500},
então
P(S \ge 4000) = P\!\Bigl(Z \ge \frac{4000 - 3750}{500}\Bigr) = P(Z \ge 0{,}50).

Passo 5

Pela tabela da normal padrão, \Phi(0{,}50)\approx0{,}6915. Logo,
P(Z \ge 0{,}50) = 1 - \Phi(0{,}50) \approx 1 - 0{,}6915 = 0{,}3085.

Resposta

A probabilidade de ele ter receita líquida de pelo menos R$ 1500,00 é aproximadamente 0{,}3085 (ou 30{,}85\%).

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