Hoje em dia estão bastante difundidas as técnicas de simulação, as quais utilizam processos de geração de números aleatórios. Numa experiência desse tipo, um pesquisador resolveu utilizar os resultados sucessivamente observados em uma determinada roleta do cassino de Monte Carlo. Antes, porém, de iniciar a coleta dos resultados, decidiu realizar testes com base nas freqüências observadas na última semana de atividade do cassino. Como se sabe, uma roleta admite 37 resultados possíveis, dados pelos números de 0 a 36 . Um dos testes que se resolveu realizar foi baseado na classificação dos resultados da roleta em:
a) zero;
b) primeira dúzia (resultados de 1 a 12);
c) segunda dúzia (resultados de 13 a 24);
d) terceira dúzia (resultados de 25 a 36).
As estatísticas da última semana para a roleta considerada indicaram que, em 540 jogadas, a primeira dúzia ocorreu 169 vezes, a segunda dúzia ocorreu 172 vezes e a terceira dúzia ocorreu 181 vezes. Com base nesses dados, fica comprovada, ao nível de 10 \% de significância, a existência de algum vício nessa roleta?

Passo 1

O enunciado pede para testar se a roleta é justa, classificando os resultados em quatro categorias:
a) zero;
b) primeira dúzia (1–12);
c) segunda dúzia (13–24);
d) terceira dúzia (25–36).
Temos n=540 lançamentos, e vamos usar o teste de aderência qui-quadrado para comparar as frequências observadas com as esperadas sob a hipótese de equidistribuição (roleta justa).

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0\colon p_{\text{zero}}=\tfrac1{37},\quad p_{\text{cada dúzia}}=\tfrac{12}{37}ú
H_1\colon\text{pelo menos uma das probabilidades é diferente}é
Sob H_0, as frequências esperadas são E_i = n\,p_i para cada categoria i.

Passo 3

Calculamos as frequências observadas e esperadas:
- Observada em zero:
O_{\text{zero}} = 540 - (169+172+181) = 18
- Observadas nas três dúzias: O_1=169, O_2=172, O_3=181.
- Esperada em zero:
E_{\text{zero}} = 540\cdot\tfrac1{37} \approx 14,595
- Esperada em cada dúzia:
E_{\text{dúzia}} = 540\cdot\tfrac{12}{37} \approx 175,135ú

Passo 4

Calculamos o estatístico de teste
\chi^2 \;=\;\sum_{i=1}^{4}\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
\begin{aligned} \chi^2 &\approx \frac{(18-14,595)^2}{14,595} + \frac{(169-175,135)^2}{175,135}\\\ &\quad + \frac{(172-175,135)^2}{175,135} + \frac{(181-175,135)^2}{175,135}\\\ &\approx 0,795 + 0,215 + 0,056 + 0,197 = 1,263 \end{aligned}

Passo 5

Para k=4 categorias, os graus de liberdade são k-1=3. Ao nível de significância \alpha=0,10, o valor crítico é
\chi^2_{0,10;3} \approx 6,251.
Como
\chi^2_{\text{obs}} \approx 1,263 < 6,251,
não rejeitamos H_0.

Resposta

Não há evidência significativa, ao nível de 10\%, de vício na roleta.

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