- Um jogador lança uma moeda equilibrada até a ocorrência de dois resultados iguais sucessivos. Determine o valor esperado do número de lançamentos.
- Cartas são retiradas sem reposição de um baralho, contendo 52 cartas, até que todos os 4 ases tenham saído. Calcule o valor esperado do número de retiradas.
Passo 1
O enunciado tem duas partes. A parte 1 pede o valor esperado do número de lançamentos de uma moeda equilibrada até aparecerem dois resultados iguais em sequência. Aqui vamos modelar o processo como um tipo de “espera geométrica” com realimentação, usando um argumento de recorrência.
A parte 2 pede o valor esperado do número de cartas retiradas sem reposição de um baralho de 52 cartas até saírem os quatro ases. Isso é equivalente a olhar as posições dos quatro ases numa permutação aleatória de 52 cartas e calcular a esperança do máximo dessas posições, usando resultados de estatística de ordem.
A parte 2 pede o valor esperado do número de cartas retiradas sem reposição de um baralho de 52 cartas até saírem os quatro ases. Isso é equivalente a olhar as posições dos quatro ases numa permutação aleatória de 52 cartas e calcular a esperança do máximo dessas posições, usando resultados de estatística de ordem.
Passo 2
Parte 1 – lançamentos de moeda até dois iguais seguidos.
Defina como o número esperado total de lançamentos desde o início. No primeiro lançamento usamos sempre 1 jogada e, a partir daí, passamos a uma situação em que temos um “último resultado” e esperamos que o próximo seja igual. Seja
o número esperado de lançamentos adicionais necessários a partir desse ponto. Logo
Defina
Para achar
, note que no próximo lançamento a probabilidade de dar paridade (mesmo resultado do anterior) é
, encerrando o processo em 1 jogada, e a probabilidade de ser diferente também é
, caso em que gastamos 1 jogada e voltamos à mesma situação inicial de “esperar paridade”. Assim
Portanto
Passo 3
Parte 2 – retiradas sem reposição até sair o quarto ás.
Imagine as 52 cartas embaralhadas e numeradas de 1 até 52. As posições dos quatro ases formam um conjunto de quatro números escolhidos aleatoriamente sem reposição. Seja o maior desses quatro números (ou seja, o momento em que aparece o último ás). Um resultado geral de estatística de ordem diz que, ao escolher
posições uniformemente sem reposição entre 1 e
, a esperança do
-ésimo menor valor é
Imagine as 52 cartas embaralhadas e numeradas de 1 até 52. As posições dos quatro ases formam um conjunto de quatro números escolhidos aleatoriamente sem reposição. Seja
Aqui
,
e queremos
, logo
Esse é o número esperado de retiradas até sair o último dos quatro ases.
Resposta
- O número esperado de lançamentos é
. - O número esperado de retiradas para aparecerem todos os quatro ases é
.