1. Um jogador lança uma moeda equilibrada até a ocorrência de dois resultados iguais sucessivos. Determine o valor esperado do número de lançamentos.
  2. Cartas são retiradas sem reposição de um baralho, contendo 52 cartas, até que todos os 4 ases tenham saído. Calcule o valor esperado do número de retiradas.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. A parte 1 pede o valor esperado do número de lançamentos de uma moeda equilibrada até aparecerem dois resultados iguais em sequência. Aqui vamos modelar o processo como um tipo de “espera geométrica” com realimentação, usando um argumento de recorrência.
A parte 2 pede o valor esperado do número de cartas retiradas sem reposição de um baralho de 52 cartas até saírem os quatro ases. Isso é equivalente a olhar as posições dos quatro ases numa permutação aleatória de 52 cartas e calcular a esperança do máximo dessas posições, usando resultados de estatística de ordem.

Passo 2

Parte 1 – lançamentos de moeda até dois iguais seguidos.
Defina E como o número esperado total de lançamentos desde o início. No primeiro lançamento usamos sempre 1 jogada e, a partir daí, passamos a uma situação em que temos um “último resultado” e esperamos que o próximo seja igual. Seja E_1 o número esperado de lançamentos adicionais necessários a partir desse ponto. Logo
E = 1 + E_1.
Para achar E_1, note que no próximo lançamento a probabilidade de dar paridade (mesmo resultado do anterior) é 1/2, encerrando o processo em 1 jogada, e a probabilidade de ser diferente também é 1/2, caso em que gastamos 1 jogada e voltamos à mesma situação inicial de “esperar paridade”. Assim
E_1 = 1 + \frac12\cdot 0 + \frac12\cdot E_1 \quad\Longrightarrow\quad E_1 - \tfrac12E_1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad E_1 = 2.
Portanto
E = 1 + 2 = 3.

Passo 3

Parte 2 – retiradas sem reposição até sair o quarto ás.
Imagine as 52 cartas embaralhadas e numeradas de 1 até 52. As posições dos quatro ases formam um conjunto de quatro números escolhidos aleatoriamente sem reposição. Seja X_{(4)} o maior desses quatro números (ou seja, o momento em que aparece o último ás). Um resultado geral de estatística de ordem diz que, ao escolher k posições uniformemente sem reposição entre 1 e n, a esperança do r-ésimo menor valor é
\mathbb{E}[X_{(r)}]=\frac{r\,(n+1)}{k+1}.
Aqui n=52, k=4 e queremos r=4, logo
\mathbb{E}[X_{(4)}] =\frac{4\,(52+1)}{4+1} =\frac{4\cdot 53}{5} =\frac{212}{5}=42{,}4.
Esse é o número esperado de retiradas até sair o último dos quatro ases.

Resposta

  1. O número esperado de lançamentos é 3.
  2. O número esperado de retiradas para aparecerem todos os quatro ases é \tfrac{212}{5}\approx 42{,}4.

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