Considere uma função
tal que,
seja variável aleatória sempre que
for variável aleatória. Suponha que
é par, isto é,
. Além disso, admita que
é não decrescente e não negativa para
. Mostre que, para qualquer
e qualquer
.
Passo 1
O enunciado define uma função
que satisfaz:
-
é par, ou seja, para todo . -
é não decrescente em . -
para .
Dada qualquer variável aleatóriae qualquer constante , queremos mostrar
O conteúdo principal a usar é a desigualdade de Markov para variáveis não negativas.
Passo 2
Como
é par, temos
Além disso, pela não decrescência de
em
, sempre que
então
Logo o evento
está contido em
, o que implica
Passo 3
Aplicando a desigualdade de Markov à variável não-negativa
, temos
Passo 4
Finalmente, usando novamente
, concluímos