Considere uma função g tal que, g(X) seja variável aleatória sempre que X for variável aleatória. Suponha que g é par, isto é, g(x)=g(-x), \forall x \in \mathbb{R}. Além disso, admita que g é não decrescente e não negativa para x>0. Mostre que, para qualquer c>0 e qualquer X, P(|X| \geq c) \leq E[g(X)] / g\text{(c)}.

Passo 1

O enunciado define uma função g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaz:
  1. g é par, ou seja, g(x)=g(-x) para todo x.
  2. g é não decrescente em [0,\infty).
  3. g(x)\ge0 para x>0.
    Dada qualquer variável aleatória X e qualquer constante c>0, queremos mostrar
P\bigl(|X|\ge c\bigr)\;\le\;\frac{E\bigl[g(X)\bigr]}{g\text{(c)}}.
O conteúdo principal a usar é a desigualdade de Markov para variáveis não negativas.

Passo 2

Como g é par, temos
g\bigl(|X|\bigr)=g(X).
Além disso, pela não decrescência de g em [0,\infty), sempre que |X|\ge c então
g\bigl(|X|\bigr)\;\ge\;g\text{(c)}.
Logo o evento \{|X|\ge c\} está contido em \{\,g(|X|)\ge g\text{(c)}\}, o que implica
P\bigl(|X|\ge c\bigr)\;\le\;P\bigl(g(|X|)\ge g\text{(c)}\bigr).

Passo 3

Aplicando a desigualdade de Markov à variável não-negativa Y=g(|X|), temos
P\bigl(g(|X|)\ge g\text{(c)}\bigr)\;\le\;\frac{E\bigl[g(|X|)\bigr]}{g\text{(c)}}.

Passo 4

Finalmente, usando novamente g(|X|)=g(X), concluímos
P\bigl(|X|\ge c\bigr)\;\le\;\frac{E\bigl[g(|X|)\bigr]}{g\text{(c)}} =\frac{E\bigl[g(X)\bigr]}{g\text{(c)}}.

Resposta

P\bigl(|X|\ge c\bigr)\;\le\;\frac{E\bigl[g(X)\bigr]}{g\text{(c)}}.

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