1. Monte uma distribuição amostral da proporção de nascimento de meninos.

Passo 1

O enunciado pede para construir a distribuição amostral da proporção de nascimentos de meninos. Isso envolve modelar o número de meninos em uma amostra de tamanho n por uma variável binomial e, em seguida, transformar essa variável em proporção. Vamos usar:
– Conhecimento de distribuição binomial.
– Transformação de variável aleatória.
– Cálculo de esperança e variância.
– Aproximação normal para grandes n.

Passo 2

Seja X o número de meninos em uma amostra de n nascimentos independentes, cada um com probabilidade p de nascer menino. Então
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n,p\bigr),
e a proporção amostral de meninos é
\hat p = \frac{X}{n}.
Os valores possíveis de \hat p são
\hat p \in \bigl\{0,\tfrac{1}{n},\tfrac{2}{n},\dots,1\bigr\}.

Passo 3

A função de massa de probabilidade de \hat p segue diretamente da binomial: para k=0,1,\dots,n,
P\bigl(\hat p = \tfrac{k}{n}\bigr) = P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.

Passo 4

Usamos as propriedades da binomial para obter a esperança e variância de \hat p:
E(\hat p) = E\bigl(\tfrac{X}{n}\bigr) = \tfrac{1}{n}\,E(X) = \tfrac{1}{n}\,(n\,p) = p,
\mathrm{Var}(\hat p) = \mathrm{Var}\bigl(\tfrac{X}{n}\bigr) = \tfrac{1}{n^{2}}\,\mathrm{Var}(X) = \tfrac{1}{n^{2}}\,(n\,p\,(1-p)) = \frac{p\,(1-p)}{n}.

Passo 5

Para amostras grandes, pelo Teorema do Limite Central, \hat p pode ser aproximada por uma normal:
\hat p \approx N\!\Bigl(p,\;\tfrac{p\,(1-p)}{n}\Bigr).

Resposta

A distribuição amostral de \hat p é
P\bigl(\hat p = \tfrac{k}{n}\bigr) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}, \quad k=0,1,\dots,n,
com
E(\hat p)=p, \quad \mathrm{Var}(\hat p)=\frac{p(1-p)}{n},
e, para n grande,
\hat p \approx N\!\Bigl(p,\tfrac{p(1-p)}{n}\Bigr).

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