Prove algebricamente que o índice de Divisia atende ao critério circular e o fndice de Laspeyres não.
Passo 1
O enunciado pede para provar algebricamente que o índice de Divisia satisfaz o critério circular — isto é, para três datas
enquanto o índice de Laspeyres não satisfaz essa propriedade em geral.
Conteúdo: teoria de índices de preços (Divisia contínuo e Laspeyres fixo) e a noção de circularidade.
Conteúdo: teoria de índices de preços (Divisia contínuo e Laspeyres fixo) e a noção de circularidade.
Passo 2
Critério circular. Seja
o índice de preços que compara datas
e
. Dizemos que
é circular (ou recursivo) se, para quaisquer
,
Passo 3
Índice de Divisia. Na forma contínua usamos
onde
é o preço da mercadoria
em
e
é o peso orçamentário de .
é o peso orçamentário de
Passo 4
Para qualquer data intermediária
a integral se separa:
Exponenciando, obtém-se
logo o índice de Divisia satisfaz o critério circular.
Passo 5
Índice de Laspeyres. Na forma discreta, comparando datas
e
, define-se
Considere as datas
. Então
O produto é
Passo 6
Já o índice direto de
a
é
Para ter circularidade precisaríamos
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, exigimos
Em geral essa igualdade não vale, pois os vetores
e
são distintos e nada garante essa relação entre somas de produtos.
Resposta
O índice de Divisia satisfaz o critério circular, enquanto o índice de Laspeyres não satisfaz em geral.