Prove algebricamente que o índice de Divisia atende ao critério circular e o fndice de Laspeyres não.

Passo 1

O enunciado pede para provar algebricamente que o índice de Divisia satisfaz o critério circular — isto é, para três datas 0<1<2
I(0,2)\;=\;I(0,1)\,\times\,I(1,2),
enquanto o índice de Laspeyres não satisfaz essa propriedade em geral.
Conteúdo: teoria de índices de preços (Divisia contínuo e Laspeyres fixo) e a noção de circularidade.

Passo 2

Critério circular. Seja I(a,b) o índice de preços que compara datas a e b. Dizemos que I é circular (ou recursivo) se, para quaisquer 0<1<2,
I(0,2)\;=\;I(0,1)\,\times\,I(1,2).

Passo 3

Índice de Divisia. Na forma contínua usamos
\ln D(0,t)\;=\;\int_{0}^{t}\sum_{i} s_{i}(u)\,\mathrm{d}\ln p_{i}(u),
onde p_{i}(u) é o preço da mercadoria i em u e \displaystyle s_{i}(u)=\frac{p_{i}(u)\,q_{i}(u)}{\sum_{j}p_{j}(u)\,q_{j}(u)}
é o peso orçamentário de i.

Passo 4

Para qualquer data intermediária \tau\in(0,t) a integral se separa:
\ln D(0,t) =\int_{0}^{\tau}\sum_{i}s_{i}(u)\,\mathrm{d}\ln p_{i}(u) \;+\;\int_{\tau}^{t}\sum_{i}s_{i}(u)\,\mathrm{d}\ln p_{i}(u) =\ln D(0,\tau)\;+\;\ln D(\tau,t).
Exponenciando, obtém-se
D(0,t)=D(0,\tau)\,\times\,D(\tau,t),
logo o índice de Divisia satisfaz o critério circular.

Passo 5

Índice de Laspeyres. Na forma discreta, comparando datas a e b, define-se
L(a,b) =\frac{\sum_{i}p_{i}(b)\,q_{i}(a)}{\sum_{i}p_{i}(a)\,q_{i}(a)}.
Considere as datas 0<1<2. Então
L(0,1) =\frac{\sum_{i}p_{i}(1)\,q_{i}(0)}{\sum_{i}p_{i}(0)\,q_{i}(0)}, \quad L(1,2) =\frac{\sum_{i}p_{i}(2)\,q_{i}(1)}{\sum_{i}p_{i}(1)\,q_{i}(1)}.
O produto é
L(0,1)\,L(1,2) =\frac{\sum_{i}p_{i}(1)\,q_{i}(0)}{\sum_{i}p_{i}(0)\,q_{i}(0)} \;\times\; \frac{\sum_{i}p_{i}(2)\,q_{i}(1)}{\sum_{i}p_{i}(1)\,q_{i}(1)}.

Passo 6

Já o índice direto de 0 a 2 é
L(0,2) =\frac{\sum_{i}p_{i}(2)\,q_{i}(0)}{\sum_{i}p_{i}(0)\,q_{i}(0)}.
Para ter circularidade precisaríamos
\frac{\sum_{i}p_{i}(2)\,q_{i}(0)}{\sum_{i}p_{i}(0)\,q_{i}(0)} \;=\; \frac{\sum_{i}p_{i}(1)\,q_{i}(0)}{\sum_{i}p_{i}(0)\,q_{i}(0)} \;\times\; \frac{\sum_{i}p_{i}(2)\,q_{i}(1)}{\sum_{i}p_{i}(1)\,q_{i}(1)}.
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum \sum_{i}p_{i}(0)q_{i}(0)\,\sum_{i}p_{i}(1)q_{i}(1), exigimos
\bigl(\sum_{i}p_{i}(2)q_{i}(0)\bigr)\,\bigl(\sum_{i}p_{i}(1)q_{i}(1)\bigr) \;=\; \bigl(\sum_{i}p_{i}(1)q_{i}(0)\bigr)\,\bigl(\sum_{i}p_{i}(2)q_{i}(1)\bigr).
Em geral essa igualdade não vale, pois os vetores q(0) e q(1) são distintos e nada garante essa relação entre somas de produtos.

Resposta

O índice de Divisia satisfaz o critério circular, enquanto o índice de Laspeyres não satisfaz em geral.

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