A tabela abaixo apresenta os gastos das famílias A e B no consumo de 10 produtos alimentícios durante o ano de 1970, e os preços dos mesmos em 1970 e 1971. Admitindo 1970=100 pede-se:
a) o índice Sauerbeck de preço para 1971;
b) o índice Divisia de preço para 1979;
c) os efeitos das alterações de preços foram iguais para as duas famílias? Por quê?
d) se o problema fosse a correção salarial dessas famílias, com base na variação do valor do índice, qual o índice mais vantajoso para ambas as famílias? Por quê?
PRODUTOS GASTOS - 1970 PREÇOS
A B 1970 1971
1 200,00 200,00 6,00 12,00
2 150,00 100,00 2,00 2,80
3 80,00 80,00 1,00 1,50
4 60,00 200,00 5,00 5,50
5 300,00 50,00 10,00 20,00
6 110,00 200,00 8,00 4,00
7 8,00 30,00 2,00 2,60
8 12,00 50,00 1,00 1,20
9 60,00 20,00 2,80 2,80
10 20,00 20.00 3,00 3,30
TOTAIS 1.000,00 1.000,00

Passo 1

O enunciado dá os gastos em 1970 das famílias A e B em cada produto i (totalizando \,1000 para cada) e os preços desses produtos em 1970 e 1971. Pede-se índices de preços tipo Sauerbeck (Laspeyres) e Divisia, comparação dos efeitos entre as famílias e, por fim, qual índice seria mais vantajoso se servisse de base para correção salarial. Vamos precisar de:
  1. relativos de preço r_i = p_{i,1971}/p_{i,1970},
  2. pesos orçamentários em 1970 \displaystyle w_i^0 = \frac{\text{gasto}_{i,1970}}{1000},
  3. fórmulas dos índices Sauerbeck e Divisia (logarítmico com pesos de 1970).

Passo 2

Calcular para cada produto i o relativo de preço
r_i = \frac{p_{i,1971}}{p_{i,1970}},
e o peso orçamentário em 1970
w_i^0 = \frac{\text{gasto}_{i,1970}}{1000}.
Tabela resumida dos r_i e w_i^0 para as duas famílias (os w_i^0 diferem apenas entre A e B nos gastos de 1970):
\begin{array}{c|c|c|c} i & r_i & w_i^0(\text{Família A}) & w_i^0(\text{Família B})\\hline 1 & 2{,}00 & 0{,}200 & 0{,}200\\\\ 2 & 1{,}40 & 0{,}150 & 0{,}100\\\\ 3 & 1{,}50 & 0{,}080 & 0{,}080\\\\ 4 & 1{,}10 & 0{,}060 & 0{,}200\\\\ 5 & 2{,}00 & 0{,}300 & 0{,}050\\\\ 6 & 0{,}50 & 0{,}110 & 0{,}200\\\\ 7 & 1{,}30 & 0{,}008 & 0{,}030\\\\ 8 & 1{,}20 & 0{,}012 & 0{,}050\\\\ 9 & 1{,}00 & 0{,}060 & 0{,}020\\\\ 10& 1{,}10 & 0{,}020 & 0{,}020 \end{array}íí

Passo 3

Índice Sauerbeck (Laspeyres) para cada família em 1971, tomando 1970=100, é dado por
I_S \;=\; 100\;\sum_i w_i^0\,r_i.
Para a família A:
\sum_i w_i^0\,r_i =0{,}2\cdot2 + 0{,}15\cdot1{,}4 + 0{,}08\cdot1{,}5 + 0{,}06\cdot1{,}1 + 0{,}3\cdot2 + 0{,}11\cdot0{,}5 + 0{,}008\cdot1{,}3 + 0{,}012\cdot1{,}2 + 0{,}06\cdot1 + 0{,}02\cdot1{,}1 =1{,}5578.
Logo
I_S^A = 155{,}78.
Para a família B:
\sum_i w_i^0\,r_i =0{,}2\cdot2 + 0{,}1\cdot1{,}4 + 0{,}08\cdot1{,}5 + 0{,}2\cdot1{,}1 +0{,}05\cdot2 +0{,}2\cdot0{,}5 +0{,}03\cdot1{,}3 +0{,}05\cdot1{,}2 +0{,}02\cdot1+0{,}02\cdot1{,}1 =1{,}221.
Logo
I_S^B = 122{,}10.

Passo 4

Índice Divisia (logarítmico com pesos de base) para cada família, 1970=100, é
I_D \;=\; 100\;\exp\Bigl(\sum_i w_i^0\,\ln r_i\Bigr).
Para A:
\sum_i w_i^0\ln r_i =0{,}2\ln2+0{,}15\ln1{,}4+\dots+0{,}02\ln1{,}1 \approx0{,}3651,
I_D^A = 100\,e^{0,3651}\approx144{,}01.
Para B:
\sum_i w_i^0\ln r_i \approx0{,}1387,
I_D^B = 100\,e^{0,1387}\approx114{,}87.

Passo 5

Os efeitos das alterações de preços não foram iguais para as duas famílias, pois os pesos w_i^0 diferem: a família A tinha maior participação nos produtos que mais aumentaram (produtos 1 e 5), enquanto a família B gastava relativamente mais nos produtos de menor alta ou mesmo queda (produto 6).

Passo 6

Se o índice servisse de base para correção salarial, cada família preferiria o índice que lhe desse maior variação de preços (pois isso aumentaria mais o salário). Observando os resultados:
  • Para A: I_S^A=155{,}78 > I_D^A=144{,}01,
  • Para B: I_S^B=122{,}10 > I_D^B=114{,}87.
    Logo ambas as famílias são mais favorecidas pelo índice Sauerbeck, pois ele gera sempre maior correção do que o Divisia com pesos de 1970.

Resposta

a) I_S^A = 155{,}78, \;I_S^B = 122{,}10.
b) I_D^A = 144{,}01, \;I_D^B = 114{,}87.
c) Não foram iguais, pois cada família tem composição de gastos distinta e, portanto, diferentes pesos aos produtos cujo preço variou mais.
d) O índice Sauerbeck é o mais vantajoso para ambas, pois dá correções salariais maiores em comparação ao Divisia.

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