Dados:
PRODUTOS 1977 1978 1979
P Q P Q P Q
A 2 4 3 6 6 12
B 1 6 2 4 4 4
C 4 4 1 8 5 16
D 3 6 6 4 6 4
a) Obter um índice de Laspeyres e de Paasche de preço, com base em 1977, para o período 77/79.
b) Obter um índice de Marshall de preço, com base em 1977, para o mesmo período.
c) Obter um índice de Laspeyres de Preço, base móvel, para o período 77/79.

Passo 1

Temos os preços p_t^i e quantidades q_t^i dos produtos i\in\{A,B,C,D\} nos anos t=1977,1978,1979.
Precisamos calcular índices de preços para o período 1977\to1979:
– Laspeyres com base em 1977,
– Paasche com base em 1977,
– Marshall (ou Marshall–Edgeworth) com base em 1977,
e finalmente
– Laspeyres de base móvel (cadeia) para 1977\to1979.
As fórmulas são:
I_L(1979/1977) = \frac{\sum_i p_{1979}^i\,q_{1977}^i}{\sum_i p_{1977}^i\,q_{1977}^i}\times100,
I_P(1979/1977) = \frac{\sum_i p_{1979}^i\,q_{1979}^i}{\sum_i p_{1977}^i\,q_{1979}^i}\times100,
I_M(1979/1977) = \frac{\sum_i p_{1979}^i\bigl(q_{1977}^i+q_{1979}^i\bigr)} {\sum_i p_{1977}^i\bigl(q_{1977}^i+q_{1979}^i\bigr)}\times100,
e para cadeia Laspeyres usamos
I_L^{\rm cad}(1979/1977) = I_L(1978/1977)\times I_L(1979/1978),
onde cada I_L(t'/t) é calculado igual a acima trocando os anos apropriados.

Passo 2

Calculamos o índice de Laspeyres 1979/1977:
\sum_i p_{1979}^i\,q_{1977}^i =6\cdot4+4\cdot6+5\cdot4+6\cdot6 =24+24+20+36=104,
\sum_i p_{1977}^i\,q_{1977}^i =2\cdot4+1\cdot6+4\cdot4+3\cdot6 =8+6+16+18=48,
I_L(1979/1977) =\frac{104}{48}\times100\approx216{,}67.

Passo 3

Calculamos o índice de Paasche 1979/1977:
\sum_i p_{1979}^i\,q_{1979}^i =6\cdot12+4\cdot4+5\cdot16+6\cdot4 =72+16+80+24=192,
\sum_i p_{1977}^i\,q_{1979}^i =2\cdot12+1\cdot4+4\cdot16+3\cdot4 =24+4+64+12=104,
I_P(1979/1977) =\frac{192}{104}\times100\approx184{,}62.

Passo 4

Para o índice de Marshall usamos a média das quantidades base e corrente:
q_{\rm méd}^i=\frac{q_{1977}^i+q_{1979}^i}{2},é
mas o fator 1/2 cancela no quociente, então
\sum_i p_{1979}^i\bigl(q_{1977}^i+q_{1979}^i\bigr) =6\cdot16+4\cdot10+5\cdot20+6\cdot10 =96+40+100+60=296,
\sum_i p_{1977}^i\bigl(q_{1977}^i+q_{1979}^i\bigr) =2\cdot16+1\cdot10+4\cdot20+3\cdot10 =32+10+80+30=152,
I_M(1979/1977) =\frac{296}{152}\times100\approx194{,}74.

Passo 5

Agora o Laspeyres de base móvel (cadeia):
  1. Entre 1978 e 1977:
\sum_i p_{1978}^i\,q_{1977}^i =3\cdot4+2\cdot6+1\cdot4+6\cdot6 =12+12+4+36=64,
I_L(1978/1977)=\frac{64}{48}\approx1{,}3333\;(133{,}33\%).
  1. Entre 1979 e 1978:
\sum_i p_{1979}^i\,q_{1978}^i =6\cdot6+4\cdot4+5\cdot8+6\cdot4 =36+16+40+24=116,
\sum_i p_{1978}^i\,q_{1978}^i =3\cdot6+2\cdot4+1\cdot8+6\cdot4 =18+8+8+24=58,
I_L(1979/1978)=\frac{116}{58}=2{,}0\;(200\%).
  1. Índice encadeado:
I_L^{\rm cad}(1979/1977) =1{,}3333\times2{,}0\times100\approx266{,}67.

Resposta

Laspeyres ( 1977\to 1979): 216,67
Paasche ( 1977\to 1979): 184,62
Marshall ( 1977\to 1979): 194,74
Laspeyres base móvel (cadeia 1977\to 1979): 266,67

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