Prove ou dê um contra-exemplo para as afirmações abaixo:
Se
for finita, então
também é finita.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se de
segue necessariamente que
. O conteúdo é cálculo de expectativas e finitude de somas infinitas. Para mostrar que a afirmação não vale em geral, basta apresentar um contra-exemplo com
finita e
infinita.
Passo 2
Definimos primeiro uma variável
em
com distribuição de cauda pesada
onde
é constante de normalização. Em seguida definimos
Passo 3
Para achar
usamos
logo
Passo 4
Calculemos agora as expectativas:
porém
pois a série harmônica diverge.
Resposta
Um contra-exemplo é dado por
que satisfaz
e
.