Prove ou dê um contra-exemplo para as afirmações abaixo:
Se E(X Y) for finita, então E(X) também é finita.

Passo 1

O enunciado pergunta se de \E(XY)<\infty segue necessariamente que \E(X)<\infty. O conteúdo é cálculo de expectativas e finitude de somas infinitas. Para mostrar que a afirmação não vale em geral, basta apresentar um contra-exemplo com \E(XY) finita e \E(X) infinita.

Passo 2

Definimos primeiro uma variável Z em \{1,2,3,\dots\} com distribuição de cauda pesada
P(Z=n)=\frac{c}{n^2},
onde c é constante de normalização. Em seguida definimos
X = Z, \qquad Y = \frac{1}{Z}.

Passo 3

Para achar c usamos
\sum_{n=1}^{\infty}P(Z=n) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{c}{n^2} = c\,\zeta(2) =1,
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c = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2}.

Passo 4

Calculemos agora as expectativas:
\E(XY) =\E\Bigl(Z\cdot\frac{1}{Z}\Bigr) =\E(1) =1<\infty,
porém
\E(X) =\E(Z) =\sum_{n=1}^{\infty}n\;P(Z=n) =\frac{6}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} =\infty,
pois a série harmônica diverge.

Resposta

Um contra-exemplo é dado por
P(Z=n)=\frac{6}{\pi^2\,n^2},\quad X=Z,\quad Y=\frac1Z,
que satisfaz \E(XY)=1<\infty e \E(X)=\infty.

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