As variáveis aleatórias
e
são tais que
. Determine o coeficiente de correlação entre elas.
Passo 1
O enunciado diz que duas variáveis aleatórias
e
satisfazem
Queremos o coeficiente de correlação
Vamos usar a fórmula da variância de soma e a desigualdade de Cauchy–Schwarz para covariâncias.
Passo 2
Usando
e sabendo que isso vale zero, temos
Passo 3
Isolando
, obtemos
Passo 4
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz,
Substituindo o valor de
, isso vira
Elevando ao quadrado:
o que implica
.
Logo e
.
Logo
Passo 5
Finalmente, o coeficiente de correlação é
Resposta
O coeficiente de correlação entre
e
é
.