As variáveis aleatórias X e Y são tais que \operatorname{Var}(X+Y)=0. Determine o coeficiente de correlação entre elas.

Passo 1

O enunciado diz que duas variáveis aleatórias X e Y satisfazem
\operatorname{Var}(X+Y)=0.
Queremos o coeficiente de correlação
\rho_{X,Y} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\,\operatorname{Var}(Y)}}.
Vamos usar a fórmula da variância de soma e a desigualdade de Cauchy–Schwarz para covariâncias.

Passo 2

Usando
\operatorname{Var}(X+Y) =\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\,\operatorname{Cov}(X,Y),
e sabendo que isso vale zero, temos
\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\,\operatorname{Cov}(X,Y)=0.

Passo 3

Isolando \operatorname{Cov}(X,Y), obtemos
\operatorname{Cov}(X,Y) =-\frac{\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)}{2}.

Passo 4

Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz,
|\operatorname{Cov}(X,Y)| \le \sqrt{\operatorname{Var}(X)\,\operatorname{Var}(Y)}.
Substituindo o valor de \operatorname{Cov}(X,Y), isso vira
\frac{\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)}{2} \le \sqrt{\operatorname{Var}(X)\,\operatorname{Var}(Y)}.
Elevando ao quadrado:
\bigl(\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)\bigr)^2 \le 4\,\operatorname{Var}(X)\,\operatorname{Var}(Y),
o que implica \bigl(\operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(Y)\bigr)^2\le0.
Logo \operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}(Y) e
\operatorname{Cov}(X,Y)=-\operatorname{Var}(X).

Passo 5

Finalmente, o coeficiente de correlação é
\rho_{X,Y} =\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\,\operatorname{Var}(Y)}} =\frac{-\operatorname{Var}(X)}{\operatorname{Var}(X)} =-1.

Resposta

O coeficiente de correlação entre X e Y é -1.

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