Sejam X e Y variáveis com segundo momento finito. Mostre que: \left|\sigma_{X}-\sigma_{Y}\right| \leq \sqrt{\operatorname{Var}(X \pm Y)} \leq \sigma_{X}+\sigma_{Y}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para variáveis aleatórias X e Y com segundo momento finito, vale
onde \sigma_{X}=\sqrt{\operatorname{Var}(X)} e \sigma_{Y}=\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}. Vamos usar a fórmula de variância de soma e subtração e o fato de que \lvert\operatorname{Cov}(X,Y)\rvert\le\sigma_{X}\,\sigma_{Y} (desigualdade de Cauchy–Schwarz).
Passo 2
Escrevemos primeiro a variância da soma e da diferença em função de variâncias e covariância:
Isso vale tanto para o sinal “+” quanto para o sinal “-” no termo 2 \, \operatorname{Cov}(X,Y).
Passo 4
Usando \operatorname{Cov}(X,Y)\ge-\,\sigma_{X}\sigma_{Y} e \operatorname{Cov}(X,Y)\le\sigma_{X}\sigma_{Y}, obtemos para ambos os casos (soma ou diferença)