Sejam X e Y variáveis com segundo momento finito. Mostre que:
\left|\sigma_{X}-\sigma_{Y}\right| \leq \sqrt{\operatorname{Var}(X \pm Y)} \leq \sigma_{X}+\sigma_{Y}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para variáveis aleatórias X e Y com segundo momento finito, vale
\bigl|\sigma_{X}-\sigma_{Y}\bigr|\;\le\;\sqrt{\operatorname{Var}(X\pm Y)}\;\le\;\sigma_{X}+\sigma_{Y},
onde \sigma_{X}=\sqrt{\operatorname{Var}(X)} e \sigma_{Y}=\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}. Vamos usar a fórmula de variância de soma e subtração e o fato de que \lvert\operatorname{Cov}(X,Y)\rvert\le\sigma_{X}\,\sigma_{Y} (desigualdade de Cauchy–Schwarz).

Passo 2

Escrevemos primeiro a variância da soma e da diferença em função de variâncias e covariância:
\operatorname{Var}(X\pm Y) =\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)\pm2\,\operatorname{Cov}(X,Y) =\sigma_{X}^{2}+\sigma_{Y}^{2}\pm2\,\operatorname{Cov}(X,Y).

Passo 3

Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz temos
\bigl|\operatorname{Cov}(X,Y)\bigr| \le \sigma_{X} \, \sigma_{Y}.
Isso vale tanto para o sinal “ +” quanto para o sinal “ -” no termo 2 \, \operatorname{Cov}(X,Y).

Passo 4

Usando \operatorname{Cov}(X,Y)\ge-\,\sigma_{X}\sigma_{Y} e \operatorname{Cov}(X,Y)\le\sigma_{X}\sigma_{Y}, obtemos para ambos os casos (soma ou diferença)
\sigma_{X}^{2}+\sigma_{Y}^{2}-2\,\sigma_{X}\sigma_{Y} \;\le\;\operatorname{Var}(X\pm Y) \;\le\;\sigma_{X}^{2}+\sigma_{Y}^{2}+2\,\sigma_{X}\sigma_{Y}.
Mas
\sigma_{X}^{2}+\sigma_{Y}^{2}\pm2\,\sigma_{X}\sigma_{Y} =(\sigma_{X}\pm\sigma_{Y})^{2}.

Passo 5

Portanto
(\sigma_{X}-\sigma_{Y})^{2}\le\operatorname{Var}(X\pm Y)\le(\sigma_{X}+\sigma_{Y})^{2},
e tomando raiz não negativa em toda a cadeia vem
\bigl|\sigma_{X}-\sigma_{Y}\bigr|\;\le\;\sqrt{\operatorname{Var}(X\pm Y)}\;\le\;\sigma_{X}+\sigma_{Y}.

Resposta

\bigl|\sigma_{X}-\sigma_{Y}\bigr|\;\le\;\sqrt{\operatorname{Var}(X\pm Y)}\;\le\;\sigma_{X}+\sigma_{Y}.

Exercícios de Livros Relacionados